K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 3 2021

Áp dụng giả thiết \(ab=1\) và bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\dfrac{a^2+b^2}{a-b}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}=a-b+\dfrac{2}{a-b}\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(a-b\right)}{a-b}}=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=1\\a-b=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

13 tháng 3 2021

mình ko hiểu cho lắmoho

Ta có: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

 

*Chứng minh bất đẳng thức

Ta có: \(\forall a,b\ge0\) thì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\) \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)  (đpcm)

 

 

 

 

Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b>0\)(đpcm)

25 tháng 4 2018

a) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm , ta có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

b) Xét hiệu:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)

=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

25 tháng 4 2018

a) a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\) ( a > 0 ; b > 0 )

⇔ a - 2\(\sqrt{ab}\) + b ≥ 0

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\) ≥ 0 ( luôn đúng )

b) Áp dụng BĐT Cô-si :

x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0)

⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)

\(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2

NV
10 tháng 3 2023

\(\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}}\ge\dfrac{2a}{b+1+b^2-b+1}=\dfrac{2a}{b^2+2}\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\ge\dfrac{2a}{b^2+2}+\dfrac{2b}{c^2+2}+\dfrac{2c}{a^2+2}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+2}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+2}+c-\dfrac{ca^2}{a^2+2}\)

\(VT\ge6-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+2}+\dfrac{bc^2}{c^2+2}+\dfrac{ca^2}{c^2+2}\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{ab^2}{b^2+2}=\dfrac{2ab^2}{2b^2+4}=\dfrac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\le\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{4b^4}}=\dfrac{a}{3}\sqrt[3]{2b^2}=\dfrac{a}{3}\sqrt[3]{2.b.b}\le\dfrac{a}{9}\left(2+b+b\right)\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\ge6-\left(\dfrac{2a}{9}\left(b+1\right)+\dfrac{2b}{9}\left(c+1\right)+\dfrac{2c}{9}\left(a+1\right)\right)\)

\(=6-\dfrac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{9}\left(ab+bc+ca\right)\ge6-\dfrac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{27}\left(a+b+c\right)^2=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{bc}\cdot\dfrac{b}{ac}}=\dfrac{2}{cc}\)

\(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{bc}{ca\cdot ab}}=\dfrac{2}{a}\)

\(\dfrac{c}{ab}+\dfrac{a}{bc}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a\cdot c}{a\cdot b\cdot c\cdot b}}=\dfrac{2}{b}\)

=>a/bc+b/ac+c/ab>=2(1/a+1/b+1/c)

18 tháng 4 2023

sao ra đc thế bn, đề bị sai mà

19 tháng 3 2017

ta chứng minh đưk a2+b2 >= 2ab. 

19 tháng 3 2017

ta chứng minh đưk a2+b2 >= 2ab. Ta có:

a2+b2 + (ab+1/a+b)2  = (a+b)2 + (ab+1/a+b)2 - 2ab >= 2(ab+1) - 2ab = 2ab + 2 - 2ab = 2

Vậy.......

11 tháng 4 2021

Nhân 2 vế cho ab ta có:

`a^2+b^2>=2ab`

`<=>(a-b)^2>=0` luôn đúng

Dấu "=" `<=>a=b`