Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{2c}}}+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{c+\sqrt{a+\sqrt{2b}}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+Σ\sqrt{b+\sqrt{2c}}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
Đặt \(A^2=\left(\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
Đặt tiếp: \(B^2=\left(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le36\Rightarrow B\le6\)
\(\Rightarrow A^2\le3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\le3\cdot12=36\Rightarrow A\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
\(\le3\left(6+6\right)=3\cdot12=36\Rightarrow VT\le6=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=2\)
ý a, áp dụng BĐT cô si có
a + b >= căn ab dấu = xay ra a=b
b + c >= căn bc dau = xay ra khi b=c
c+a >= căn ac dau = xay ra khi a=c
công tung ve vao. rut gon ta dc điều phải chung minh
1/ \(a+1=\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}-\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
2/ \(a+b=5\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=125\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=125\)
\(\Rightarrow a^3+b^3=125-3ab\left(a+b\right)=125-3.1.5=110\)
3/ \(mn\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2.mn\)
\(=mn\left(\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2\right)\)
\(=mn\left(mn+1-m-n\right)\left(mn+1+m+n\right)\)
\(=mn\left(m-1\right)\left(n-1\right)\left(m+1\right)\left(n+1\right)\)
\(=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Do \(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\) và \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) đều là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chúng đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) tích của chúng chia hết cho 36
4/
Do \(0\le x\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x-1\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x\left(x-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\le0\Leftrightarrow x^2\le x\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
5/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5a+4}=x\\\sqrt{5b+4}=y\\\sqrt{5c+4}=z\end{matrix}\right.\)
Do \(a+b+c=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow2\le x;y;z\le3\) và \(x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=17\)
Khi đó ta có:
Do \(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+6\le0\Leftrightarrow x\ge\frac{x^2+6}{5}\)
Tương tự: \(y\ge\frac{y^2+6}{5}\) ; \(z\ge\frac{z^2+6}{5}\)
Cộng vế với vế:
\(A=x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+18}{5}=\frac{17+18}{5}=7\)
\(\Rightarrow A_{min}=7\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
ÁP DỤNG BĐT COSI TA CÓ :\(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\le\frac{a}{b+c+2a}+\frac{1}{4}\)
\(\sqrt[]{\frac{b}{a+c+2b}}\le\frac{b}{a+c+2b}+\frac{1}{4}\)
\(\sqrt[]{\frac{c}{a+b+2c}}\le\frac{c}{a+b+2c}+\frac{1}{4}\)
ĐẶT A=\(\sqrt[]{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt[]{\frac{b}{a+c+2b}}+\sqrt[]{\frac{c}{a+b+2c}}\)
\(\le\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{a+c+2b}+\frac{c}{a+b+2c}+\frac{3}{4}\)
ÁP DỤNG BĐT :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{b}{a+c+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)+\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3}{2}\)
DẤU = XẢY RA\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Một lời giải khác:
\(\left(\Sigma\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\right)^2=\left(\Sigma\sqrt{\frac{a\left(a+2c+b\right)}{\left(a+2c+b\right)\left(b+c+2a\right)}}\right)^2\)
\(\le\left[\Sigma a\left(a+2c+b\right)\right]\left[\Sigma\frac{1}{\left(a+2c+b\right)\left(b+c+2a\right)}\right]=\Sigma\frac{a^2+3ab}{\left(a+2c+b\right)\left(b+c+2a\right)}\)
\(=\frac{4\left(\Sigma a^2+3\Sigma ab\right)\left(\Sigma a\right)}{\Pi\left(a+2c+b\right)}\)
Cần chứng minh \(\frac{4\left(\Sigma a^2+3\Sigma ab\right)\left(\Sigma a\right)}{\Pi\left(a+2c+b\right)}\le\frac{9}{4}\)
Chịu khó quy đồng :V
Áp dụng BĐT Bunhia- cốp -xki ta có
\(M=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a+b\right)\le2\)
Vậy maxM =2 \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Ta có: \(P=-\left(b\sqrt{a}-2a\sqrt{b}+a\sqrt{a}\right)+a\sqrt{a}=-\left(\sqrt{b+\sqrt{a}}-\sqrt{a+\sqrt{a}}\right)^2+a\sqrt{a}\)
\(\le a\sqrt{a}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1
Mình làm thế này không biết có đúng ko mn