Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)
Dấu = khi a=b=c\(=\frac{1}{3}\)
ta có: a2 +b2 +c2 =\(\frac{a^2}{1}\) +\(\frac{b^2}{1}\) +\(\frac{c^2}{1}\)
áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có :
\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\) ≥\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}\) =\(\frac{1}{3}\)
đấu = xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{9}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
\(A=a^5-a=a.\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)=B\left(a^2+1\right)\)B là 3 số tự nhiên liên tiếp \(\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\\B⋮6\end{matrix}\right.\) ta cần c/m A chia cho 5
\(A=B\left(n^2+1\right)=B\left[\left(n^2-4\right)+5\right]=B\left(n^2-2^2\right)=B\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5B=C+5B\)C là tích 5 số tự nhiên liên tiếp: \(\left\{{}\begin{matrix}C⋮5\\5B⋮5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A⋮5\)
\(\left\{{}\begin{matrix}A⋮5\\A⋮6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A⋮30\) => dpcm
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\a-b=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\a=b\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=1\)
a)\(A=1^3+2^3+3^3+........+10^3\)
\(A=1^3+10^3+2^3+9^3+3^3+8^3+4^3+7^3+5^3+6^3\)
\(A=11\cdot111+11\cdot103+11\cdot97+11\cdot93+11\cdot91\)
\(A=11\cdot\left(111+103+97+93+91\right)=11\cdot495\)
\(A=11\cdot11\cdot5\cdot9\)
Vậy \(A⋮11,A⋮5\)
Chứng minh rằng nếu (a2+b2)(x2+y2) = (ax+by)2 với x,y khác 0 thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2y^2+b^2x^2=2axby\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2y^2+b^2x^2-2axby=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ay-bx\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(ay-bx=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(ay=bx\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Bài 1 A=xyz+xz-zy-z+xy+x-y-1
thay các gtri x=-9, y=-21 và z=-31 vào là đc
=> A=-7680
Bài 2:a) n³ + 3n² + 2n = n²(n + 1) + 2n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và 3
mà (n + 1) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n
(n + 2) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n
=>n³ + 3n² + 2n luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
b) 49n+77n-29n-1
=\(49^n-1+77^n-29^n\)
=\(\left(49-1\right)\left(49^{n-1}+49^{n-2}+...+49+1\right)+\left(77-29\right)\left(79^{n-1}+..+29^n\right)\)
=48(\(49^{n-1}+...+1+77^{n-1}+...+29^{n-1}\))
=> tích trên chia hết 48
c) 35x-14y+29-1=7(5x-2y)+7.73
=7(5x-2y+73) tích trên chia hết cho 7
=. ĐPCM
Ta coˊ :xy+x+1x+yz+y+1y+xz+z+1z
=���+�+1+�����+��+�+����2��+���+��=xy+x+1x+xyz+xy+xxy+x2yz+xyz+xyxyz
=���+�+1+����+�+1+1��+�+1(Vıˋ ���=1)=xy+x+1x+xy+x+1xy+xy+x+11(Vıˋ xyz=1)
=�+��+1��+�+1=xy+x+1x+xy+1
=1=1