Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Md1= (2;1)
Md2 = (-1;3)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua M
- Viết PTTS của d ⊥ d1:
Ta có:
M(2;1)
Do d1⊥ d nên VTCP ud1 = (-3;-1) --> VTPT nd = (-1;3)
--> VTCP ud = (3;1)
Vậy PTTS của d:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=1+t\end{matrix}\right.\)
- Viết PTTQ của d ⊥ d1:
Ta có:
M(2;1)
Do d1 ⊥ d nên VTCP ud1 = (-3;-1) --> VTPT nd = (-1;3)
Vậy PTTQ của d:
-1(x - 2) + 3(y - 1) = 0
<=> -x + 2 + 3y - 3 = 0
<=> -x + 3y - 1 = 0
- Viết PTTS của d ⊥ d2:
Ta có:
M(-1;3)
Do d ⊥ d2 nên VTCP ud2 = (-2;-1) --> VTPT ud = (-1;2)
--> VTCP ud = (2;1)
Vậy PTTS của d:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=3+t\end{matrix}\right.\)
Viết PTTQ của d ⊥ d2:
M(-1;3)
Do d ⊥ d2 nên VTCP ud2 = (-2;-1) --> VTPT ud = (-1;2)
Vậy PTTQ của d:
-1(x + 1) + 2(y - 3) = 0
<=> -x - 1 + 2y - 6 = 0
<=> -x + 2y - 7 = 0
Dễ dàng nhận thấy AC là đường kính của đường tròn và AC vuông góc d1; AB vuông góc d2
Gọi tọa độ A có dạng \(A\left(a;-a\sqrt{3}\right)\) với \(a>0\)
Gọi d là đường thẳng qua A vuông góc d2 \(\Rightarrow\) d nhận \(\left(1;\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x-a\right)+\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x+\sqrt{3}y+2a=0\)
Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{3}y+2a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(\frac{3a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\Rightarrow AB=a\sqrt{3}\)
Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d1 \(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(1;-\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d':
\(1\left(x-a\right)-\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x-\sqrt{3}y-4a=0\)
Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{3}y-4a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-2a;-2a\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(\frac{3a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2}\right)\) \(\Rightarrow BC=3a\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}.a\sqrt{3}.3a=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(\frac{\sqrt{3}}{3};-1\right)\\C\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3};-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(-\frac{\sqrt{3}}{6};-\frac{3}{2}\right)\\R=\frac{AC}{2}=1\end{matrix}\right.\)
Phương trình đường tròn: \(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=1\)
\(d_1\) nhận \(\left(3;4\right)\) là 1 vtpt
\(d_2\) nhận \(\left(a;-2\right)\) là 1 vtcp \(\Rightarrow\) nhận \(\left(2;a\right)\) là 1 vtpt
Do đó ta có:
\(\frac{\left|3.2+4.a\right|}{\sqrt{3^2+4^2}.\sqrt{4+a^2}}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|4a+6\right|}{5\sqrt{a^2+4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(4a+6\right)=5\sqrt{a^2+4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(4a+6\right)^2=25\left(a^2+4\right)\)
\(\Leftrightarrow7a^2+96a-28=0\)
\(\Rightarrow a_1+a_2=-\frac{96}{7}\) (theo Viet)
a. Tọa độ A thỏa mãn:
\(4-3t+2\left(-1+2t\right)-1=0\Rightarrow t=-1\)
\(\Rightarrow A\left(7;-3\right)\)
b. d1 nhận \(\left(-3;2\right)=-1\left(3;-2\right)\) là 1 vtcp nên đường thẳng d nhận \(\left(2;3\right)\) là 1 vtcp và \(\left(3;-2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=7+2t\\y=-3+3t\end{matrix}\right.\)
Pt tổng quát:
\(3\left(x-7\right)-2\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow3x-2y-27=0\)
Đường thẳng d2 nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt nên d3 nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt và \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtcp
Phương trình tham số d3: \(\left\{{}\begin{matrix}x=7+2t\\y=-3-t\end{matrix}\right.\)
Pt tổng quát:
\(1\left(x-7\right)+2\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow x+2y-1=0\)
Câu 1:
\(a^2+b^2=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)=2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
\(P=c^2-2ac+a^2+d^2-2bd+b^2-\left(a^2+b^2\right)\)
\(P=\left(c-a\right)^2+\left(d-b\right)^2-1\ge\frac{1}{2}\left(c-a+d-b\right)^2-1\)
\(P\ge\frac{1}{2}\left(6-\sqrt{2}\right)^2-1=18-6\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\\c=d=3\end{matrix}\right.\)
Câu 2:
Gọi \(B\in d_1\Rightarrow B\left(a;2-a\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(a-2;-a\right)\)
\(C\in d_2\Rightarrow C\left(c;8-c\right)\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(c-2;6-c\right)\)
Để tam giác ABC vuông cân tại A thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\\AB^2=AC^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)\left(c-2\right)-a\left(6-c\right)=0\\\left(a-2\right)^2+a^2=\left(c-2\right)^2+\left(6-c\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac-4a-c+2=0\\a^2-2a=c^2-8c+18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(c-4\right)=2\\\left(a-1\right)^2=\left(c-4\right)^2+3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3;c=5\\a=-1;c=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B\left(3;-1\right);C\left(5;3\right)\\B\left(-1;3\right);C\left(3;5\right)\end{matrix}\right.\)