GK
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 11 2021
\(ab\left(a+b\right)=a^2+b^2-ab\Rightarrow ab=\dfrac{a^2+b^2-ab}{a+b}\)
\(A=\dfrac{a^3+b^3}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)ab\left(a+b\right)}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}\)
\(=\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)^2=\left(\dfrac{a+b}{\dfrac{a^2+b^2-ab}{a+b}}\right)^2=\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\right)^2\)
Ta có: \(a^2+b^2-ab>0;\forall a;b\ne0\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\ge0\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-ab}=\dfrac{4\left(a^2+b^2-ab\right)-3\left(a^2+b^2-2ab\right)}{a^2+b^2-ab}=4-\dfrac{3\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\le4\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\le4\)
\(\Rightarrow A\le16\)
\(A_{max}=16\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
H
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 12 2021
TH1: \(a=b=\dfrac{1}{2}\Rightarrow m=\pm1\)
TH2: \(a\ne b\)
\(a^4-b^4=a^3-b^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=a^2+b^2+ab\)
\(\Rightarrow ab=0\Rightarrow\dfrac{m^2+1}{8}=0\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn
Vậy \(m=\pm1\)
TT
0
ML
8 tháng 8 2015
Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)
Với a, b > 0, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.
Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi
\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.
\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)
\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)
\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)
24 tháng 8 2021
1/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
NV
2
9 tháng 9 2017
A=\(\frac{4}{2ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14\)
=\(\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+14\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{ab}\le1\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)(1)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=4\)(2)
Từ (1) và (2) =>A\(\ge\)2+3.4+14=28
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=\(\frac{1}{2}\)
TM
9 tháng 9 2017
A=\(\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14=\frac{1}{2ab}+\frac{3}{2ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14=\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\)+14
Áp dụng bđt Cauchy Schawrz dạng Engel: \(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2ab+a^2+b^2}=\frac{2^2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1^2}=4\)(1)
Mặt khác áp dụng bđt Cô-si: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow1^2\ge4ab\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(A=\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+14\ge2+3.4+14=28\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2