Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b\left(a^2+c^2\right)+a\left(b^2+c^2\right)}\le\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\) ; \(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{b^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
a, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
b, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )
\(\Rightarrow ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(VT=\dfrac{a^3bc}{c+ab^2c}+\dfrac{ab^3c}{a+abc^2}+\dfrac{abc^3}{b+a^2bc}\)
\(=abc\left(\dfrac{a^2}{c+ab^2c}+\dfrac{b^2}{a+abc^2}+\dfrac{c^2}{b+a^2bc}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng engel có:
\(VT\ge\dfrac{abc\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+abc\left(a+b+c\right)}\)\(=\dfrac{abc\left(a+b+c\right)}{1+abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Vậy...
Sai đề không bạn,tại a=b=c=2 thay vào không thỏa mãn nha
Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
\(\dfrac{b+c+5}{a+1}+\dfrac{a+c+4}{b+2}+\dfrac{a+b+3}{c+3}\ge6\)
Lời giải:
Đặt biểu thức vế trái là $A$
Ta có:
\(A+3=\frac{b+c+5}{a+1}+1+\frac{a+c+4}{b+2}+1+\frac{a+b+3}{c+3}+1\)
\(=\frac{a+b+c+6}{a+1}+\frac{a+b+c+6}{b+2}+\frac{a+b+c+6}{c+3}\)
\(=(a+b+c+6)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz hay (Svac-sơ) ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3}\geq \frac{9}{a+1+b+2+c+3}=\frac{9}{a+b+c+6}\)
\(\Rightarrow A+3\geq (a+b+c+6).\frac{9}{a+b+c+6}=9\Rightarrow A\geq 6\) (đpcm)
Lời giải:Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}.\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, ta có:
\(P\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b^2+a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2+a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}$
Ta có:
\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\)
Áp dụng bất đẳng thức:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\ge\dfrac{4}{a^2+2ab+b^2}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{4}{1^2}=4\) ( vì a + b = 1)
Áp dụng bất đẳng thức \(4xy\le\left(x+y\right)^2\) ta có:
\(4ab\le\left(a+b\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{4ab}\ge\dfrac{2}{1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
Khi đó:
\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge4+2=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 nên a = b = \(\dfrac{1}{2}\)