T
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
24 tháng 8 2018
điều kiện xác định : \(a>0\)
ta có : \(A=\dfrac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\dfrac{a^2-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}^3+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}^3-1\right)}{a+\sqrt{a}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{a+\sqrt{a}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)\(\Leftrightarrow A=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)-\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
\(\Leftrightarrow A=a+\sqrt{a}-a+\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}=2\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có : \(A=2\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{2}\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
13 tháng 7 2017
2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)
vậy...................
PA
13 tháng 7 2017
Câu 1:
\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{4+5}=3\)
\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)
6 tháng 9 2017
b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}}=2\)
Xảy ra khi \(a=b\)
c)Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) có:
\(VT=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
\(\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\cdot2\sqrt{ab}}=2\sqrt{2\left(a+b\right)\cdot\sqrt{ab}}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b\)
6 tháng 9 2017
a)\(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+3}}=\sqrt{a^2+3}\ge\sqrt{3}< 2\)\
sai đề
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 4 2021
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{4c^2+ca+4a^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}}\ge1\)
Ta có:
\(\sum\left(\dfrac{a}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}\right)^2\sum a\left(4b^2+bc+4c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a\left(4b^2+bc+4c^2\right)+b\left(4c^2+ac+4a^2\right)+c\left(4a^2+ab+4b^2\right)}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{4a\left(b^2+c^2\right)+4b\left(c^2+a^2\right)+4c\left(a^2+b^2\right)+3abc}\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\) (đúng theo Schur bậc 3)
19 tháng 6 2021
\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+c^2+c^2\right)}}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\ge ab+2c^2\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\); \(\sqrt{\dfrac{ac+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ac+2b^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ac=2+ab+bc+ac\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
KF
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 11 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\geq 2\sqrt{(a-b).\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}$
Ta có đpcm.
3 tháng 7 2018
a) \(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
b) \(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a+b}{2}^2}\ge\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2\)
<=> \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)
<=> \(\dfrac{2a+2b}{4}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\Leftrightarrow2a+2b\ge a+b+2\sqrt{ab}\)
<=> \(2a+2b-a-b-2\sqrt{ab}\ge0\)
<=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
=> đpcm
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
26 tháng 5 2022
Ta có:
\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)
\(=a+b+2\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).
đk: a > 0
A/dụng bđt AM-GM có:
\(A=2\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{2\sqrt{a}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a}}}=2\sqrt{2\cdot1}=2\sqrt{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi :\(2\sqrt{a}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}\)