K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TP
0
QP
1
PT
10 tháng 5 2019
Bài này thiếu đề. Đề đúng là phải có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) nữa nha bạn.
\(\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\ge\frac{a+b+c}{4}\)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) \(\Rightarrow ab+bc+ac=abc\)
\(VT=\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\)
\(\Rightarrow VT=\frac{a^2.a}{a\left(a+bc\right)}+\frac{b^2.b}{b\left(b+ac\right)}+\frac{c^2.c}{c\left(c+ab\right)}\)
\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\)
\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)
\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\frac{b^3}{a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{c^3}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64}}=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64}}=\frac{3c}{4}\)
Ta có:
\(\frac{3a}{4}+\frac{3b}{4}+\frac{3c}{4}+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3a}{4}+\frac{3b}{4}+\frac{3c}{4}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{4}=VP\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=3\)
\(\RightarrowĐpcm.\)
HF
16 tháng 10 2019
\(\frac{a}{b^2+bc+c^2}+\frac{b}{c^2+ca+a^2}+\frac{c}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^2}{ca^2+abc+cb^2}\) (1)
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc}\)
Lại có: \(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc=\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)\)
Thay vào -> dpcm
17 tháng 10 2019
\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Chúc bạn học tốt !!!
TN
10 tháng 8 2017
cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao
Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V
12 tháng 11 2017
tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M >=(a+b+c)/8
3 tháng 8 2019
Câu hỏi của TRẦN HỮU ĐẠT - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Từ \(a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Ta thấy \(VT\ge0=VT\) ; đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)(đpcm)