K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NA
1
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DQ
1
NA
0
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 6 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$
$\Rightarrow (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)=2$
$\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}(1)$
Mặt khác:
Từ $a^2+b^2=1\Rightarrow a\leq 1; b\leq 1$
Mà $a,b>0$ nên $a^2\leq a; b^2\leq b$
$\Rightarrow 1=a^2+b^2\leq a+b(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow 1\leq a+b\leq \sqrt{2}$
Ta có đpcm.
VT
0
10 tháng 8 2018
Ta có: \(1=\frac{4}{a}+\frac{9}{b}\ge\frac{25}{a+b}\)
\(\Rightarrow a+b\ge25\)
Do đó: \(VT=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\ge25+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\)
\(\Rightarrow VT\ge25+\frac{25}{\sqrt{2}}=\frac{25}{2}\left(2+\sqrt{2}\right)\)
Đề: Cho a > 0; b > 0 và a + b = 1.
Chứng minh rằng: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
~ ~ ~ ~ ~
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\), ta có:
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}\left(1+\frac{a+b}{ab}\right)^2\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\right)^2\)
\(=\frac{25}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 0,5