LV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NM
0
TH
2
9 tháng 9 2019
Áp dụng bđt svac-xơ có:
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)
<=> \(A\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Với a,b,c>0 và a+b+c \(\le1\) => 0<(a+b+c)2\(\le1\)=> \(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
=>A\(\ge9\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
23 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
ta có A\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
24 tháng 11 2021
\(1,\text{Áp dụng Mincopxki: }\\ Q\ge\sqrt{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2}\ge\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b\)
24 tháng 11 2021
\(2,\text{Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: }\\ P\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{1}=9\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
22 tháng 5 2017
3 số thực dương nhé.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel có :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+2bc}=\frac{1}{b^2+2ca}=\frac{1}{c^2+2ab}\)và \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+2bc=b^2+2ca=c^2+2ab\)
Mong có ai giúp mình từ đẳng thức trên giải ra a=b=c.
9 tháng 3 2020
a2+b2+c2=(a+b+c)2<=> ab+bc+ca=0
\(\Rightarrow S=\frac{a^2}{a^2+bc-\left(ab+ca\right)}+\frac{b^2}{b^2+ac-\left(ab+bc\right)}+\frac{c^2}{c^2+ab-\left(bc+ca\right)}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}-\frac{c^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)
M tương tự
NM
4
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019
Lời giải:
Ta thấy:
\(\text{VT}=\frac{c^2}{2ab^2c^2+c^2}+\frac{a^2}{2bc^2a^2+a^2}+\frac{b^2}{2ca^2b^2+b^2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\text{VT}(2ab^2c^2+c^2+2bc^2a^2+a^2+2ca^2b^2+b^2)\geq (c+a+b)^2\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2abc(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}(*)\)
Áp dụng BĐT Am-GM:
\(3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1\)
\(\Rightarrow 2abc(ab+bc+ac)\leq 2(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2abc(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}=1(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}\geq 1\)
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019
Cách khác bằng AM-GM:
\(\text{VT}=3-\left(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}\right)(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}=\frac{2ab^2}{ab^2+ab^2+1}+\frac{2bc^2}{bc^2+bc^2+1}+\frac{2ca^2}{ca^2+ca^2+1}\)
\(\leq \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}+\frac{2bc^2}{3\sqrt[3]{b^2c^4}}+\frac{2ca^2}{3\sqrt[3]{c^2a^4}}=\frac{2}{3}(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2})\)
\(\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)=\frac{2}{3}(a+b+c)=2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-2=1\) (đpcm)
DP
1
27 tháng 11 2019
Cách : AM - GM :
\(VT=3-\left(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM - GM :
\(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}=\frac{2ab^2}{ab^2+ab^2+1}+\frac{2bc^2}{bc^2+bc^2+1}+\frac{2ca^2}{ca^2+ca^2+1}\)
\(\le\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}+\frac{2bc^2}{3\sqrt[3]{b^2c^4}}+\frac{2ca^2}{3\sqrt[3]{c^aa^4}}=\frac{2}{3}\left(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2}\right)\)
\(\le\frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)=\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ge3-2=1\left(đpcm\right)\)
N
9 tháng 8
P=\(\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{\left(a^2+\left(b+c\right)^2\right)\left(1+1\right)}}+\dfrac{\sqrt{2}.b}{\sqrt{\left(b^2+\left(a+c\right)^2\right)\left(1+1\right)}}+\dfrac{\sqrt{2}.c}{\sqrt{\left(c^2+\left(b+a\right)^2\right)\left(1+1\right)}}\)>=\(\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}.b}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}.c}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}\)>=\(\sqrt{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2020
\(\frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Đặt \(m=a^2+bc\);\(n=b^2+2ca\);\(p=c^2+2ab\)
Lúc đó: \(m+n+p=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^2< 1\)(vì a + b + c < 1 )
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\ge9\)và m + n + p < 1 ; m,n,p > 0
Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số không âm:
\(m+n+p\ge3\sqrt[3]{mnp}\)
và \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{mnp}}\)
\(\Rightarrow\left(m+n+p\right)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\ge9\)
Mà m + n + p < 1 nên \(\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\ge9\)
hay \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)