Question

[Toán Vui]

 Cho A = m +n ; B= m.m +n.n. Biết UCLN(m,n)=1. Tìm UCLN(A,B)

Answer 1

[Khánh Hạ]

Gọi ƯCLN(A; B) = d

=> A ; B chia hết cho d

=> m + n chia hết cho d  và B = m² + n² chia hết cho d 

m + n chia hết cho d => m(m+ n) chia hết cho d => m² + mn chia hết cho d

=> (m² + mn) - (m² + n²) chia hết cho d => n(m - n) chia hết cho d

Nhận xét: n và m - n nguyên tố cùng nhau vì 

Gọi ƯCLN(n;m - n) = d' => n ; m - n chia hết cho d' => n; m chia hết cho d' => d' là ước chung của m; n

Mà theo bài cho ƯCLN(m; n) = 1 nên d' = 1

Vậy n; m - n nguyên tố cùng nhau 

Ta có n(m - n) chia hết cho d => n chia hết cho d hoặc m - n chia hết cho d

+) Trường hợp:  n chia hết cho d : Ta có m + n chia hết cho d nên m chia hết cho d => d là ước chung của m ; n mà ƯCLN(m; n) = 1

=> d = 1 

+) Trường hợp:  m - n chia hết cho d: Ta có m + n chia hết cho d => (m - n) + (m + n) chia hết cho d => 2m chia hết cho d

- Khi m lẻ  => 2 chia hết cho d hoặc m chia hết cho d

Nếu 2 chia hết cho d mà d lớn nhất => d = 2

Nếu m chia hết cho d , theo trường hợp trên => n chia hết cho d => d = 1

- Khi m chẵn, vì m; n nguyên tố cùng nhau nên n lẻ . Lại có 2n chia hết cho d => 2 chia hết cho d hoặc n chia hết cho d

Quay lại trường hợp như trên => d = 2 hoặc 1

Vậy d = 1 hoặc d = 2

Answer 2

[Nguyễn Hưng Phát]

Gọi UCLN(A,B)=d

Ta có:\(\hept{\begin{cases}A⋮d\\B⋮d\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m+n⋮d\\m.m+n.n⋮d\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+n\right)\left(m-n\right)⋮d\\m.m+n.n⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m.m-n.n⋮d\\m.m+n.n⋮d\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(m.m-n.n\right)+\left(m.m+n.n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2.m.m⋮d\Rightarrow m.m⋮d\Rightarrow m⋮d\) vì UCLN(m,d)=1

\(\Rightarrow n⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(m,n\right)=1\)

Vậy UCLN((A,B)=1