Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)\(\frac{\sqrt[2]{X}+2}{\sqrt{x}-3}\)< 1 <=> \(\frac{\sqrt[2]{X}+2}{\sqrt{x}-3}\)- 1 < 0 <=> \(\frac{\sqrt{X}+2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\)< 0 <=> \(\frac{5}{\sqrt{x}-3}\)< 0 Mà 5 > 0
=> \(\sqrt{x}-3< 0\)<=> \(\sqrt{X}< 3\)<=> \(x< 9\)
Câu b làm tương tự nha
b, \(A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\le2\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}-2\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+2-2\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}\le0\Leftrightarrow\frac{-\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}-3}\le0\)
TH1 : \(\hept{\begin{cases}8-\sqrt{x}\le0\\\sqrt{x}-3\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\sqrt{x}\le-8\\\sqrt{x}\ge3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\ge8\\\sqrt{x}\ge3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge64\\x\ge9\end{cases}\Leftrightarrow}x\ge64}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}8-\sqrt{x}\ge0\\\sqrt{x}-3\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\le8\\\sqrt{x}\le3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le64\\x\le9\end{cases}}\Leftrightarrow x\le9}\)
Kết hợp với đk : \(0\le x< 9\)
Bài 2 xét x=0 => A =0
xét x>0 thì \(A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}\)
để A nguyên thì \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)\)
=>cho \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\)bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?
1,Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)
\(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\)
\(c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
=> M=0
Vậy M=0
a, ĐK : \(x\ge0;x\ne4\)
b, \(P=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}=2\sqrt{x}+1\)
\(xy+yz+xz\ge x+y+z\)
\(min=1\); \(x=1,y=1,z=1\); \(x=2,y=2,z=2\)thỏa mãn đk: \(xy+yz+xz\ge x+y+z\)
\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}+\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}+\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{1^3+8}}3\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{1+8}}3\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{9}}3\ge1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{3}3\ge1\)(đk :\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^3}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\))
Ta có đánh giá quen thuộc sau: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)kết hợp giả thiết \(xy+yz+zx\ge x+y+z\)suy ra \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x+y+z\right)\Rightarrow xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)
Dùng bất đẳng thức Bunyakosky dạng phân thức xét vế trái của bất đẳng thức:
\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(y+2\right)\left(y^2-2y+4\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+6-\left(x+y+z\right)+12}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)-\left(x+y+z\right)+12}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}\)Đặt x + y + z = t ≥ 3 xét\(\frac{2t^2}{t^2-t+12}-1=\frac{t^2+t-12}{t^2-t+12}=\frac{\left(t+4\right)\left(t-3\right)}{t^2-t+12}\ge0\)(đúng với mọi t ≥ 3)
Như vậy, \(\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}\ge1\)hay \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge1\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
a)ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}-2x+1\ne0\\\frac{3}{-2x+1}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\frac{1}{2}\\-2x+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\frac{1}{2}\\x< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
b) ĐKXĐ: \(x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge1\)
c) ĐKXĐ: \(x\in\mathbb{R}\)
Ta có \(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)
Để A nguyên thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)phải nguyên suy ra \(\sqrt{x}+1\)là ước của 2
Ta thấy \(Ư\left(2\right)=\left\{1;-1;2;-2\right\}\) mà điều kiện cho \(x\ge0\)và \(x\ne1\)nên \(\sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}\)
Với \(\sqrt{x}+1=1\Rightarrow\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0\)(thoải mãn )
Với \(\sqrt{x}+1=2\Rightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1\)(loại)
Vậy x = 0 thì A nguyên