VP
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
0
2 tháng 3 2017
\(P=\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2a^2}\)
\(\Leftrightarrow P=a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+2b^2\ge2\sqrt{2a^2b^2}=2ab\sqrt{2}\\b^2+2a^2\ge2\sqrt{2a^2b^2}=2ab\sqrt{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}\le\frac{2ab^2}{2ab\sqrt{2}}=\frac{b}{\sqrt{2}}\\\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\le\frac{2a^2b}{2ab\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}\ge a-\frac{b}{\sqrt{2}}\\b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge b-\frac{a}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge a+b-\left(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(a+b\right)}{2}\)
Ta có \(\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow9\le\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}\le\frac{a+b+4}{2}\)
\(\Rightarrow9\le\frac{a+b+4}{2}\)
\(\Rightarrow a+b\ge14\)
\(\Rightarrow\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(a+b\right)}{2}\ge14-7\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge14-7\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge14-7\sqrt{2}\)
Vậy GTNN của \(P=14-7\sqrt{2}\)
NN
2
6 tháng 1 2015
a2+b2+1>= ab+a+b <=> a2+b2+1-ab-a-b>=0
<=> 2a2+2b2+2-2ab-2a-2b>=0
<=> (a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)
<=> (a-b)2+(a-1)2+(b-1)2>=0 ( Bất Đẳng Thức luôn đúng)
Vậy a2+b2+1>= ab+a+b
4 tháng 9 2016
Ta có a3_ a2b +ab2 _6b3=0
<=> (a3 - 2a2 b) + (a2 b - 2ab2) + (3ab2 - 6b3) = 0
<=> (a - 2b)(a2 + ab + 3b2) = 0
Vì a >b>0 nên (a2 + ab + 3b2) >0
=> a - 2b = 0 <=> a = 2b
Thế vào B=a4- 4b4 /b4 -4a4 = \(\frac{-4}{21}\)
T
1 tháng 1 2019
Chia hai vế của giải thiết cho \(b^3\),ta có:
\(\frac{a^3}{b^3}-\frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}-6=0\) Đặt \(\frac{a}{b}=v\) (v nguyên)
Suy ra \(v^3-v^2+v-6=0\) (1)
Giải (1),tìm được v = 2 tức là \(\frac{a}{b}=2\)
Thay vào B,ta có: \(B=\frac{\frac{a^{\text{4 }}}{b^4}.b^4-4b^4}{b^4-4.\frac{a^4}{b^4}.b^4}=\frac{b^4\left(2^4-4\right)}{b^4\left(1-4.2^4\right)}\)\(=\frac{12}{-63}=-\frac{4}{21}\)
\(\left(a-b\right)^2=a^2+b^2-2ab=a^2+b^2-4\)
=> \(a^2+b^2=\left(a-b\right)^2+4\)
\(M=\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)^2+4}{a-b}=\left(a-b\right)+\frac{4}{a-b}\)
Do a>b => a-b>0
=> \(M\ge4\)
dấu = xảy ra <=> \(a=1+\sqrt{3},b=-1+\sqrt{3}\) hoặc \(a=1-\sqrt{3},b=-1-\sqrt{3}\)
\(M=\frac{a^2+b^2}{a-b}\)
Đặt \(a^2+b^2=x\Rightarrow\left(a-b\right)^2=x-4\)
Vì a>b nên x-4>0
\(M^2=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a-b\right)^2}=\frac{x^2}{x-4}\) . Dễ thấy Min \(\frac{x^2}{x-4}=16\) vì \(x^2-16\left(x-4\right)=\left(x-8\right)^2\ge0\)
Do \(M\ge0\) nên Min M = 4 khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=8\\a-b=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1-\sqrt{3}\\b=-1-\sqrt{3}\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}a=1+\sqrt{3}\\b=\sqrt{3}-1\end{cases}}\)