Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(a+b\ge1\Leftrightarrow b\ge1-a\)
Xét \(Q\ge\dfrac{8a^2+1-a}{4a}+\left(1-a\right)^2=\dfrac{8a^2}{4a}+\dfrac{1}{4a}-\dfrac{a}{4a}+1-2a+a^2\)
\(=2a+\dfrac{1}{4a}-\dfrac{1}{4}+1-2a+a^2\)\(=a^2+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{3}{4}\)\(=\left(a^2+\dfrac{1}{8a}+\dfrac{1}{8a}\right)+\dfrac{3}{4}\)
Áp dụng Cosi được \(Q\ge3\sqrt[3]{a^2\cdot\dfrac{1}{8a}\cdot\dfrac{1}{8a}}+\dfrac{3}{4}\)\(=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(Qmin=\dfrac{3}{2}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Từ \(a+b\ge1=>b\ge1-a>0\) ta có:
A = \(\dfrac{8a^2+b}{4a}+b^2\ge\dfrac{8a^2+1-a}{4a}+\left(1-a\right)^2\)
=\(\dfrac{8a^2-a+1+4a^3-8a^2+4a}{4a}=\dfrac{4a^3-4a^2+a+4a^2-4a+1+6a}{4a}\)
= \(\dfrac{a\left(2a-1\right)^2+\left(2a-1\right)^2}{4a}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{\left(2a-1\right)^2\left(a+1\right)}{4a}+\dfrac{3}{2}\left(1\right)\)
Vì với a>0 thì\(\dfrac{\left(2a-1\right)^2\left(a+1\right)}{4a}\ge0\)
Dấu = xảy ra khi a=1/2
Nên từ (1) => A\(\ge0+\dfrac{3}{2}\) hay A\(\ge\dfrac{3}{2}\)
Vậy GTNN của A=3/2 khi a=b=1/2
A = \(\dfrac{8a^2+b}{4a}+b^2\)
Ta có: a + b \(\ge\) 1 \(\Leftrightarrow\) b \(\ge\) 1 - a
\(\Rightarrow\) A \(\ge\) \(\dfrac{8a^2+1-a}{4a}+\left(1-a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) A \(\ge\) 2a + \(\dfrac{1}{4a}\) - \(\dfrac{1}{4}\) + 1 - 2a + a2
\(\Leftrightarrow\) A \(\ge\) a2 + \(\dfrac{1}{4a}\) + \(\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\) A \(\ge\) a2 + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương a2; \(\dfrac{1}{8a}\); \(\dfrac{1}{8a}\)
a2 + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{1}{8a}\) \(\ge\) 3\(\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{64a^2}}\) = 3\(\sqrt[3]{64}\) = 3.4 = 12
\(\Leftrightarrow\) a2 + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{3}{4}\) \(\ge\) 12 + \(\dfrac{3}{4}\) = \(\dfrac{51}{4}\)
Hay A \(\ge\) a2 + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{3}{4}\) \(\ge\) \(\dfrac{51}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a2 = \(\dfrac{1}{8a}\) \(\Leftrightarrow\) 8a3 = 1 \(\Leftrightarrow\) a3 = \(\dfrac{1}{8}\) \(\Leftrightarrow\) a = \(\dfrac{1}{2}\)
và b = 1 - a \(\Leftrightarrow\) b = 1 - \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{2}\)
Vậy MinA = \(\dfrac{51}{4}\) \(\Leftrightarrow\) a = b = \(\dfrac{1}{2}\)
Chúc bn học tốt! (ko chắc lắm đâu)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
\(a+b+c\le\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{3.3}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(A=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}}=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}}} \\\ge\sum{\dfrac{1}{\dfrac{4a^2+2}{2}}}=\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}} \)
Ta cần chứng minh: \(\dfrac{1}{2a^2+1}\ge\dfrac{-4}{9}a+\dfrac{7}{9} \\<=>\dfrac{8a^3-14a^2+4a+2}{9(2a^2+1)}\ge0 \\<=>\dfrac{2(a-1)^2(4a+1)}{9(2a^2+1)}\ge0 (luôn\ đúng\ với\ mọi\ a>0) \\->\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}}\ge\dfrac{-4}{9}(a+b+c)+\dfrac{21}{9}\ge\dfrac{-4}{9}.3+\dfrac{21}{9}=1 \\->A\ge1 \)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy GTNN của A là 1 (khi a = b = c = 1).
\(\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2=a+a+\frac{b}{4a}+b^2\)
\(\ge a+1-b+\frac{1-a}{4a}+b^2=a+1-b+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2\)(do \(a+b\ge1\))
\(=\left(a+\frac{1}{4a}\right)+b^2-b+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\)
\(\ge2\sqrt{a\cdot\frac{1}{4a}}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)
\(\ge2\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn \(a+b\le1\) . Tìm GTNN của
\(A=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+a^2+b^2+6ab}+\frac{1}{3ab}\)
\(=\frac{4}{1+(a+b)^2+4ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+1+4.\frac{1}{4}}+\frac{1}{3.\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}\)
Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$ khi $a=b=\frac{1}{2}$
Bạn tham khảo:
Cho hai số thực a;b thay đổi thỏa mãn điều kiện \(a b\ge1\) và \(a>0\) Tìm GTNN của \(A=\frac{8a^2 b}{4a} b^2\) - Hoc24