Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
= a2(a+b+c) + b2(a+b+c)+c2(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+b2+c2)
V ới a+b+c = 1 thì A = a2+b2+c2
Ta có a2+b2 ≥2ab
a2+ c2 ≥ 2ac
b2 + c2 ≥ 2bc
2(a2 + b2 +c2) ≥ 2(ab + bc + ac)(1)
Cộng thêm vào hai vế của (1) với a2 + b2 + c2
⇔ 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a+b+c)2
⇔ 3A ≥ 1/3
⇔ A≥1/3 Dấu “ = ” xảy ra khi a= b =c
Mà a+b+c = 1 nên a =b=c = 1/3
Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất là 1/3khi a =b=c = 1/3
\(P=a^3+b^3+c^3+a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
\(=a^3+a^2\left(b+c\right)+b^3+b^2\left(c+a\right)+c^3+c^2\left(b+a\right)\)
\(=a^2\left(a+b+c\right)+b^2\left(b+c+a\right)+c^2\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=1\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2\)
Tớ có cách khác:
Từ giả thiết suy ra:
\(P=a^3+b^3+c^3+a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)\(=a^2+b^2+c^2\)
Lại có: \(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{9}}=\frac{2a}{3}\)
Suy ra \(a^2\ge\frac{2a}{3}-\frac{1}{9}\)
Thiết lập 2 BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(P=a^2+b^2+c^2\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{3}-\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2=\frac{1}{9}\Leftrightarrow a=b=c=\pm\frac{1}{3}\)
Vậy...