Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=2017+a^2+b^2+c^2\ge2017+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=2020\)
\(A_{min}=2020\) khi \(a=b=c=1\)
Với mọi số thực ta luôn có:
`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`
`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2>=0`
`<=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`
`<=>3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`
`<=>3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2=4`
`<=>a^2+b^2+c^2>=4/3`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=2/3`
~Quang Anh Vũ~
Áp dụng BĐT Bun-hia-cop-xki ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=2\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{4}{3}\)khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Ta có :
A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
= a2(a+b+c) + b2(a+b+c)+c2(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+b2+c2)
V ới a+b+c = 1 thì A = a2+b2+c2
Ta có a2+b2 ≥2ab
a2+ c2 ≥ 2ac
b2 + c2 ≥ 2bc
2(a2 + b2 +c2) ≥ 2(ab + bc + ac)(1)
Cộng thêm vào hai vế của (1) với a2 + b2 + c2
⇔ 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a+b+c)2
⇔ 3A ≥ 1/3
⇔ A≥1/3 Dấu “ = ” xảy ra khi a= b =c
Mà a+b+c = 1 nên a =b=c = 1/3
Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất là 1/3khi a =b=c = 1/3