Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a, b\(\in\)\(ℤ\). Chứng minh rằng : (\(a^2\)- \(b^2\)) . (\(a^2\)- 64 ) . (\(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
Một số chính phương chia 12 chỉ có thể dư 0; 1; 4; 9
+) Nếu \(a^2;b^2\) có cùng số dư khi chia cho 12
=> \(a^2-b^2⋮12\)
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
+) Nếu \(a^2\)hoặc \(b^2\) chia 12 dư 4
mà 64 chia 12 dư 4
khi đó: \(a^2-64\) chia hết cho 12 hoặc \(b^2-64\) chia hết cho 12
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
+) Xét các trường hợp còn lại:
Vì vai trò a; b như nhau đối với tính chia hết
=> G/s số dư của \(a^2\) lớn hơn số dư của \(b^2\) khi chia cho 12
TH1: \(a^2\) chia 12 dư 1 và \(b^2\)chia 12 dư 0
=> \(a^2-64\)chia 12 dư -3
\(b^2-64\)chia 12 dư -4
mà -3 . (-4) = 12
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
TH2: \(a^2\) chia 12 dư 9 và \(b^2\)chia 12 dư 0
=> \(a^2-64\) chia 12 dư 5
\(b^2-64\) chia 12 dư -4
\(a^2-b^2\)chia 12 dư 9
mà 5. (-4).9 \(⋮12\)
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
TH3: \(a^2\) chia 12 dư 9 và \(b^2\)chia 12 dư 1
=> \(a^2-64\) chia 12 dư 5
\(b^2-64\) chia 12 dư -3
\(a^2-b^2\)chia 12 dư 8
mà 5. (-3).8 \(⋮12\)
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
Vậy ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12 với mọi số nguyên a; b.
Một số chính phương chia cho 3 ( hoặc 4 ) chỉ có số dư là 0 hay 1.
Có 3 số chính phương \(a^2\),\(b^2\), 64 = \(8^2\)mà có 2 loại số dư là 0 hoặc 1.
=> Có ít nhất 2 số trong 3 số \(a^2\),\(b^2\),\(8^2\)cùng số dư trong phép chia cho 3 ( không mất tính tổng quát giả sử )
2 số đó là \(a^2\)và\(b^2\)=> \(a^2\)-\(b^2\)\(⋮\)3
=> ( \(a^2\)-\(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 )\(⋮\)3, 4 ( điều phải chứng minh )
( DÙNG NGUYÊN LÍ DICHLE )
Bài giải
a, Ta có : \(\frac{2x+5}{x+2}=\frac{2\left(x+2\right)+1}{x+2}=\frac{2\left(x+2\right)}{x+2}+\frac{1}{x+2}=2+\frac{1}{x+2}\)
\(2x+5\text{ }⋮\text{ }x+2\text{ khi }1\text{ }⋮\text{ }x+2\text{ }\Rightarrow\text{ }x+2\inƯ\left(1\right)\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+2=-1\\x+2=1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=-1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\text{ }x\in\left\{-3\text{ ; }-1\right\}\)
a) \(2\left(x+2\right)+1⋮x+2\)
\(\Leftrightarrow1⋮x+2\)
b) \(3x+5⋮x-2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-2\right)+11⋮x-2\)
\(\Leftrightarrow11⋮x-2\)
c) \(x^2+3⋮x+4\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-16\right)+19⋮x+4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+4\right)+19⋮x+4\)
\(\Leftrightarrow19⋮x+4\)
P/s : Mình chỉ làm đến bước này thôi, các bước tiếp theo bạn tự làm nhé. Chúc bạn học tốt !
Đặt \(B=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2014^2}\)
Ta có : \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)
\(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.5}\)
...
\(\frac{1}{2014^2}< \frac{1}{2013.2014}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2013.2014}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}-\frac{1}{2014}< \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)
Vậy A<\(\frac{3}{4}\)
A<\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2013.2014}\)=\(\frac{2013}{2014}\)<\(\frac{3}{4}\)
B1. Ta có: A= \(\frac{4n-1}{2n+3}+\frac{n}{2n+3}=\frac{4n-1+n}{2n+3}=\frac{5n-1}{2n+3}\)
=> 2A = \(\frac{10n-2}{2n+3}=\frac{5\left(2n+3\right)-17}{2n+3}=5-\frac{17}{2n+3}\)
Để A là số nguyên <=> 2A là số nguyên <=> \(\frac{17}{2n+3}\in Z\)
<=> 17 \(⋮\)2n + 3 <=> 2n + 3 \(\in\)Ư(17) = {1; -1; 17; -17}
Lập bảng:
| 2n + 3 | 1 | -1 | 17 | -17 |
| n | -1 | -2 | 7 | -10 |
Vậy ....
Bài 2:
Gọi d là ƯCLN (7n-1; 6n-1) (d thuộc N*)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}7n-1⋮d\\6n-1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6\left(7n-1\right)⋮d\\7\left(6n-1\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}42n-6⋮d\\42n-7⋮d\end{cases}}}\)
=> 42n-7-42n+6 chia hết cho d
=> -1 chia hết cho d
mà d thuộc N* => d=1
=> ƯCLN (7n-1; 6n-1)=1
=> đpcm
Trả lời
a)
\(x^2:\frac{16}{11}=\frac{11}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^2=\frac{11}{4}\cdot\frac{16}{11}\)
\(\Leftrightarrow x^2=\frac{16}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{4}{2}\)
Vậy x=\(\frac{4}{2}\)
b) (bạn thiếu nhóm \(\frac{1}{10\cdot13}\))
Đặt \(A=\frac{1}{1\cdot4}+\frac{1}{4\cdot7}+\frac{1}{7\cdot10}+\frac{1}{10\cdot13}+\frac{1}{13\cdot16}+\frac{1}{16\cdot19}\)
\(\Rightarrow3A=3\left(\frac{1}{1\cdot4}+\frac{1}{4\cdot7}+\frac{1}{7\cdot10}+\frac{1}{10\cdot13}+\frac{1}{13\cdot16}+\frac{1}{16\cdot19}\right)\)
\(\Rightarrow3A=\frac{3}{1\cdot4}+\frac{3}{4\cdot7}+\frac{3}{7\cdot10}+\frac{3}{10\cdot13}+\frac{3}{13\cdot16}+\frac{3}{16\cdot19}\)
\(\Rightarrow3A=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{19}+\frac{1}{19}\)
\(\Rightarrow3A=1-\frac{1}{19}\Leftrightarrow3A=\frac{18}{19}\)
\(\Rightarrow A=\frac{18}{19}:3\Leftrightarrow A=\frac{6}{19}\)
tự làm là hạnh phúc của mỗi công dân.