Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a, b\(\in\)\(ℤ\). Chứng minh rằng : (\(a^2\)- \(b^2\)) . (\(a^2\)- 64 ) . (\(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
a) \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)
b) b = a - c => b + c = a
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a^2}{bc}\\\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{ac+ab}{bc}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a^2}{bc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)
Bước 2 bạn sai rồi. Vd: \(\frac{1}{3x3}\) đâu bằng hay nhỏ hơn \(\frac{1}{2x3}\)
a) Giải
Đặt \(M=\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{6}{7}...\dfrac{98}{99}\)
\(\Rightarrow A< A.M\)
hay \(A< \left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}...\dfrac{99}{100}\right).\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{6}{7}...\dfrac{98}{99}\right)\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{5}{6}.\dfrac{6}{7}...\dfrac{98}{99}.\dfrac{99}{100}\)
\(\Leftrightarrow A< \dfrac{1.2.3.4.5.6...98.99}{2.3.4.5.6.7...99.100}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{10}\)
Vậy \(A< \dfrac{1}{10}\)
a)=>A=\(1+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\right)\)
Đặt tổng trong ngoặc là M
=>M=\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)\(=1-\frac{1}{50}< 1\)
Khi đó A=1+M (M<1)
Ta có công thức :1+x<2 nếu x<1
=>A<1
a) Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\) ; \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\) ; \(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\) ; ... ; \(\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009.2010}\)
=> \(Vt< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2009.2010}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)
\(=1-\frac{1}{2010}< 1\)
Một số chính phương chia 12 chỉ có thể dư 0; 1; 4; 9
+) Nếu \(a^2;b^2\) có cùng số dư khi chia cho 12
=> \(a^2-b^2⋮12\)
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
+) Nếu \(a^2\)hoặc \(b^2\) chia 12 dư 4
mà 64 chia 12 dư 4
khi đó: \(a^2-64\) chia hết cho 12 hoặc \(b^2-64\) chia hết cho 12
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
+) Xét các trường hợp còn lại:
Vì vai trò a; b như nhau đối với tính chia hết
=> G/s số dư của \(a^2\) lớn hơn số dư của \(b^2\) khi chia cho 12
TH1: \(a^2\) chia 12 dư 1 và \(b^2\)chia 12 dư 0
=> \(a^2-64\)chia 12 dư -3
\(b^2-64\)chia 12 dư -4
mà -3 . (-4) = 12
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
TH2: \(a^2\) chia 12 dư 9 và \(b^2\)chia 12 dư 0
=> \(a^2-64\) chia 12 dư 5
\(b^2-64\) chia 12 dư -4
\(a^2-b^2\)chia 12 dư 9
mà 5. (-4).9 \(⋮12\)
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
TH3: \(a^2\) chia 12 dư 9 và \(b^2\)chia 12 dư 1
=> \(a^2-64\) chia 12 dư 5
\(b^2-64\) chia 12 dư -3
\(a^2-b^2\)chia 12 dư 8
mà 5. (-3).8 \(⋮12\)
=> ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12
Vậy ( \(a^2\)- \(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 ) \(⋮\)12 với mọi số nguyên a; b.
Một số chính phương chia cho 3 ( hoặc 4 ) chỉ có số dư là 0 hay 1.
Có 3 số chính phương \(a^2\),\(b^2\), 64 = \(8^2\)mà có 2 loại số dư là 0 hoặc 1.
=> Có ít nhất 2 số trong 3 số \(a^2\),\(b^2\),\(8^2\)cùng số dư trong phép chia cho 3 ( không mất tính tổng quát giả sử )
2 số đó là \(a^2\)và\(b^2\)=> \(a^2\)-\(b^2\)\(⋮\)3
=> ( \(a^2\)-\(b^2\)) . ( \(a^2\)- 64 ) . ( \(b^2\)- 64 )\(⋮\)3, 4 ( điều phải chứng minh )
( DÙNG NGUYÊN LÍ DICHLE )