Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\)
Ta đi chứng minh: \(t=a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\)(*)
Thật vậy: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)(**)
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: \(a^3+ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)(do a,b dương) (1)
Tương tự ta có: \(b^3+bc^2\ge2b^2c\left(2\right);c^3+2ca^2\ge2c^2a\left(3\right)\)
Cộng theo vế của các BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge2\left(a^2b+2b^2c+2c^2a\right)\)(***)
Từ (**) và (***) suy ra \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\). Do đó (*) đúng.
Ta có: \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=t+\frac{9-t}{2t}\)với \(t=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Bài toán trở thành tìm GTNN của \(f\left(t\right)=t+\frac{9-t}{2t}\)với \(t\ge3\)
Ta chứng minh \(f\left(t\right)\ge f\left(3\right)\Leftrightarrow t+\frac{9-t}{2t}\ge4\Leftrightarrow\frac{\left(t-3\right)\left(2t-3\right)}{2t}\ge0\)(đúng với mọi \(t\ge3\))
Vậy \(MinP=4\)khi t = 3 hay a = b = c = 1
Cần các cao nhân giải khác phương pháp SS
Không làm theo cách đánh giá 3(a2b+b2c+c2a)\(\le\)(a+b+c)(a2+b2+c2)=3(a2+b2+c2)
Ai làm được xin cảm ơn trước
#)Giải :
Ta có : \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy :
\(\hept{\begin{cases}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\Rightarrow t\ge3\)
\(\Rightarrow P\ge t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\ge3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4\)
\(\Rightarrow P\ge4\Rightarrow P_{min}=4\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)
Với \(a^2+b^2+c^2=1\), ta có: \(\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2+ab-c^2}}\)
\(=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\)
\(\ge\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(ab+2c^2\right)+\left(a^2+b^2+ab\right)}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+2ab+2c^2}{2}}\)
\(\ge\text{}\Sigma\text{}\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+b^2\right)+2c^2}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}\)
\(=\Sigma\left(ab+2c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\)
\(=2+ab+bc+ca\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(VT=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{bc+2a^2}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{ca+2b^2}{c^2+ca+a^2}}\)
\(=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(ab+2c^2\right)}}+\frac{bc+2a^2}{\sqrt{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(bc+2a^2\right)}}+\frac{ca+2b^2}{\sqrt{\left(c^2+ca+a^2\right)\left(ca+2b^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2c^2+2ab}+\frac{2\left(bc+2a^2\right)}{2a^2+b^2+c^2+2bc}+\frac{2\left(ca+2b^2\right)}{a^2+2b^2+c^2+2ca}\)
\(\ge\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{bc+2a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ca+2b^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=2+ab+bc+ca=VP\) (Do a2 + b2 + c2 = 1) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
chăc là .............................. điền đi sẽ biếc a you ok ?
Bạn xem lại đề nhé! Mình nghĩ đề đúng là:
"a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm Min \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)"
Bạn áp dụng BĐT AM-GM là ra nhé
cho mk hỏi bđt AM-GM là gì thế