MK
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
14 tháng 4 2018
\(\left\{{}\begin{matrix}ab+ac+bc+bd+cd+da\ge4\sqrt[6]{ab.ac.bc.bd.cd.da}=6.\sqrt{abcd}=6\\a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4.\sqrt{abcd}=4\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
(1) cộng (2) => dpcm
VT
0
31 tháng 5 2020
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\)
= \(\left(1-\frac{a^2}{a^2+1}\right)+\left(1-\frac{b^2}{b^2+1}\right)+\left(1-\frac{c^2}{c^2+1}\right)+\left(1-\frac{d^2}{d^2+1}\right)\)
= \(4-\left(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}+\frac{d^2}{d^2+1}\right)\)
Áp dụng Cô - si:
\(a^2+1\ge2\sqrt{a^2.1}=2a\) <=> \(\frac{a^2}{a^2+1}\le\frac{a}{2}\)
Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{b^2}{b^2+1}\le\frac{b}{2}\\\frac{c^2}{c^2+1}\le\frac{c}{2}\\\frac{d^2}{d^2+1}\le\frac{d}{2}\end{matrix}\right.\)
<=> \(4-\left(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}+\frac{d^2}{d^2+1}\right)\)
\(\ge4-\frac{a+b+c+d}{2}=2\)
LD
1
NH
19 tháng 2 2020
+ \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\) (1)
+ Ta c/m : Nếu \(\frac{m}{n}< 1\) thì \(\frac{m}{n}< \frac{m+x}{n+x}\)
+ Ta có : \(\frac{m}{n}< 1\Leftrightarrow m< n\Leftrightarrow mx< nx\) ( m,n,x > 0 )
\(\Leftrightarrow mn+mx< mn+nx\Leftrightarrow m\left(n+x\right)< n\left(m+x\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{m}{n}< \frac{m+x}{n+x}\)
Áp dụng kết quả trên :
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{a+b}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{a+b+c+d}\) \(=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\) (2)
+ Từ (1) và (2) => đpcm
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{1}{2}\)
( Do \(a+b+c+d=1\) )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)