TN
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NN
3
KN
8 tháng 3 2020
Cô si hết lên!
\(a+1\ge2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c}\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)
Dấu "=" khi a = b = c = 1
MT
8 tháng 3 2020
Áp dụng bdt AM-GM cho 2 số dương a và 1 ta được:
\(a+1\ge2\sqrt{a}\)
tương tự ta có: \(b+1\ge2\sqrt{b}\);\(c+1\ge2\sqrt{c}\)
Suy ra \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)(do \(abc=1\Rightarrow\sqrt{abc}=1\))
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)(đpcm)
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
TT
2
HL
27 tháng 4 2017
(a-1)(b-1)(c-1)
=(ab-a-b+1)(c-1)
=abc+a+b+c-ab-bc-ac-1
mà abc=1
=>1+a+b+c-ab-bc-ac-1
=a+b+c-ab-bc-ac
vì abc=1
=>ab=1/c;bc=1/a;ac=1/b
=>(a+b+c)-(1/a+1/b+1/c)
mà a+b+c>1/a+1/b+1/c
=>(a+b+c)-(1/a+1/b+1/c)>0
=>(a-1)(b-1)(c-1)>0
C
22 tháng 9 2019
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
\(=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)\)
\(=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1\)
\(=-ac-bc+c-ab+a+b\)
Mà abc = 1 nên \(\hept{\begin{cases}ab=\frac{1}{c}\\bc=\frac{1}{a}\\ac=\frac{1}{b}\end{cases}}\)
\(ĐT\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)>0\)
(Vì \(\left(a+b+c\right)>\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\))
Vậy \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\left(đpcm\right)\)
HT
1
SM
0
K
1
27 tháng 11 2023
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)
=>\(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
=>ab+bc+ac=0
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)
=>\(\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}\)
=>\(\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(ab+bc\right)+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
=>\(\left(-ac\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(-ac\right)+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=0\)
=>\(-a^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2=0\)
=>0=0(đúng)
Do a,b,c dương nên áp dụng bdt Cosi có :
(a+1)(b+1)(c+1)≥2√a.2√b.2√c=8√abc=8(a+1)(b+1)(c+1)≥2a.2b.2c=8abc=8
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Áp dụng BĐT trên ta có :
\(\left(a+1\right)^2\ge4a\left(1\right)\)
\(\left(b+1\right)^2\ge4b\left(2\right)\)
\(\left(c+1\right)^2\ge4c\left(3\right)\)
Nhân vế với vế ta được :
\(\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge4a.4b.4c=64abc=64\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)
Chúc bạn học tốt !!!