PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LN
2
7 tháng 4 2019
Vì a, b >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô - si , ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)
Mad a,b >0 \(\Rightarrow\frac{1}{a},\frac{1}{b}\)cũng lớn hơn 0 , áp dụng Cô - si ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.\frac{2}{\sqrt{ab}}\)=\(4\)
Vậy \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\left(đpcm\right)\)
Cứ có bài toán nào đề bài cho là lớn hơn 0 thì cậu nghĩ ngay tới cô si nhé
7 tháng 4 2019
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
a2+ b2 \(\ge\)2ab
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}\ge\frac{4ab}{ab}\)\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}\ge4\)\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{a+b}{ab}\right)\ge4\)
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\) ( ĐPCM)
HT
1
18 tháng 4 2015
(a+b)(1/a+1/b)=1+a/b+b/a+1
vì a/b+b/a >= 2căn(a/b*b/a)
a/b+b/a >= 2
a/b+b/a +1+1 >= 2+1+1
(a+b)(1/a+1/b) >= 4
20 tháng 3 2018
2.
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )
Tương tự.......................
20 tháng 3 2018
1. Xét hiệu : \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)
Lại có: b - a < 0 ( a > b)
ab >0 ( a>0, b > 0)
\(\Rightarrow\dfrac{b-a}{ab}< 0\)
Vậy: \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)
2. Xét hiệu : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}-2ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)
Vậy : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b
3. Xét hiệu : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)
Vậy : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b
BH
3
DT
16 tháng 2 2022
\(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).\left(a-b\right)\ge4\)
t có cách k dùng bdt cô-si luon nek , mà chắc lớp 8 k hẻo đeo:>
8 tháng 3 2015
vì a+b+c = 2008 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/2008 => 1/a + 1/ b + 1/c = 1/ (a+b+c)
\(\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\left(bc+ac+ab\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
=>(a+b+c)(bc+ac+ab) - abc = 0
=> abc + a(ac+ab) + (b+c)(bc+ac+ab) - abc = 0
=> a2(b+c) + (b+c)(bc+ac+ab) = 0 => (b+c)(a2 + bc + ac + ab) = 0 => (b+c)[a(a+c) + b(a+c)] = 0
=> (b+c)(a+b)(a+c) = 0 => b+c = 0 hoặc a+b = 0 hoặc a+c = 0
Nếu b+c = 0 => a = 2008
nếu a+ b = 0 => c = 2008
Nếu a+c = 0 => b = 2008
Vậy....
UN
3
27 tháng 5 2016
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=2+\frac{a^2+b^2}{ab}\ge4\)
\(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(a^2+b^2\ge2ab\) (điều này đúng nên BĐT đúng)
CC
27 tháng 5 2016
Ta có \(\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\Rightarrow a^2+b^2=2ab\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}=2\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2\)
Lại có:\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=2+2=4\)
N
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2022
\(1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{ab}\ge4\)
Do đó:
\(ab+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge ab+\dfrac{2}{ab}=\left(ab+\dfrac{1}{16ab}\right)+\dfrac{31}{16}.\dfrac{1}{ab}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{16ab}}+\dfrac{31}{16}.4=\dfrac{33}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
ND
3
QD
27 tháng 5 2016
1/a+1/b>=4/a+b
<=> (a+b)/ab>=4/(a+b)
<=> (a+b)^2 >=4ab
<=> a^2 +2ab +b^2 - 4ab>=0
<=> (a-b)^2>=0 => đpcm
II>>
a^3+b^3>=ab(a+b)
<=> (a+b)(a^2 -ab+b^2)>=ab(a+b)
<=> a^2 -ab+b^2>=ab
<=> (a-b)^2 >=0 => đpcm
TN
27 tháng 5 2016
Vì a>0 và b>0 nên ta áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{1}{ab}}\) (1)
a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\) (2)
nhân vế với vế của (1) và (2) ta có:
(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))(a+b)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{1}{ab}}\).2\(\sqrt{ab}\)
=>(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))(a+b)\(\ge\)4
dấu = xảy ra khi a=b
Ta có: a - b 2 ≥ 0
⇔ a 2 + b 2 – 2ab ≥ 0
⇔ a 2 + b 2 – 2ab + 2ab ≥ 2ab
⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab
Vì a ≥ 0, b ≥ 0 nên ab ≥ 0 ⇒ 1/ab ≥ 0
( a 2 + b 2 ).1/ab ≥ 2ab.1/ab
⇔ a/b + b/a ≥ 2
⇔ 2 + a/b + b/a ≥ 2 + 2
⇔ 2 + a/b + b/a ≥ 4
⇔ 1 + 1 + a/b + b/a ≥ 4
⇔ a/a + b/b + a/b + b/a ≥ 4
⇔ a(1/a + 1/b ) + b(1/a + 1/b ) ≥ 4
⇔ (a + b)(1/a + 1/b ) ≥ 4