Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x, y là các số thực thỏa mãn \(x^2+y^2-xy=1\).. Chứng minh rằng:
\(x^4+y^4-x^2y^2\ge\frac{1}{9}\)
đặt x2 + y2 = a; xy = b. khi đó a - b = 1 hay a = b + 1.
ta phải chứng minh x4 + y4 - x2y2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\)hay a2 - 3b2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\) (1)
thế a = b + 1 vào (1) ta được 9b2 - 9b - 4 \(\le\)0 hay (3b + 1)(3b - 4) \(\le\)0 hay \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\)
ta sẽ chứng minh \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\).
thật vậy
ta có x2 + y2\(\ge\)2xy nên từ giả thiết suy ra xy \(\le\) 1 hay b \(\le\)1 nên b \(\le\)\(\frac{4}{3}\)
mặt khác từ giả thiết ta có (x + y)2 - 3xy = 1 nên 3xy + 1 = (x + y)2\(\ge\)0 hay xy \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)hay b \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)
từ đó suy ra đpcm.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)
Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))
Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)
\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a2+b2+c2\(\ge\)2a(b+c)
Chứng minh:
Ta có 2a2+b2+c2=(a2+b2)+(a2+c2)
Áp dụng bđt cauchy ta có
(a2+b2)+(a2+c2)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)
Bổ đề: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]^2}{2}=\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
(Cứ thấy sao sao?x + y = 1 = > x = y = 1/2)
Với ĐK : x + y = 1 ... , chỉ có x = y = 1/2 (cái nài là STP mà có phải SD đâu??)
Chia làm 2TH
\(N>\frac{25}{2}\); TH2 : \(N=\frac{25}{2}\)
\(N=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+1\div1\div2\right)^2+\left(\frac{1}{2}+1\div1\div2\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+1\div2\right)^2+\left(\frac{1}{2}+1\div2\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(1\right)^2+\left(1\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=2\ge\frac{25}{2}\)
----------------------------
\(N=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
Tương tự như trên :\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\ge\frac{25}{2}\)
Chẳng khác gì phía trên,mà 25 / 2 = 25 : 2 = 12 , 5 . Lại còn x , y là số dương .
[Trình mình thì chẳng CM được cái này(vì không CM được)]
\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)+\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{2}{y}}+\frac{3}{2}=1+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
\(\frac{x}{2}=\frac{1}{2x}\Leftrightarrow2x^2=2\Rightarrow x=1\)(vì x>0)
\(\frac{y}{2}=\frac{2}{y}\Leftrightarrow y^2=4\Rightarrow y=2\)(vì y>0)
\(x+y=3\)
\(\Rightarrow x=1;y=2\)
ta có: \(x+y\ge\frac{1}{5}\) (*)
<=>\(x+y\ge\frac{\left(2\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{5}\)(vì \(2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1\) )
<=>\(5x+5y\ge4x-4\sqrt{xy}+y\)
<=>\(x+4\sqrt{xy}+4y\ge0\)
<=>\(\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\ge0\) luôn đúng
=>(*) luôn đúng => đpcm
Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)
\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)
Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)
Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)
\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)
Vậy ta có đpcm
Ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)
Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left[\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2\right]\left[\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\right]\ge\left(x^2+y^2\right)^2\left(1\right)\)
Lại có: \(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
Vậy từ \(\left(1\right)\) có: \(2\left[\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\right]\ge\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge\frac{1}{4}\Rightarrow x^4+y^4\ge\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)