D
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2023
Lời giải:
$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2$
$\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^2+1})(x-\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2(x-\sqrt{x^2+1})$
$\Leftrightarrow -(y+\sqrt{y^2+1})=2(x-\sqrt{x^2+1})$
$\Leftrightarrow 2x+\sqrt{y^2+1}=2\sqrt{x^2+1}-y$
$\Rightarrow (2x+\sqrt{y^2+1})^2=(2\sqrt{x^2+1}-y)^2$
$\Leftrightarrow 4x^2+y^2+1+4x\sqrt{y^2+1}=4(x^2+1)+y^2-4y\sqrt{x^2+1}$
$\Leftrightarrow 4(x\sqrt{y^2+1})+y\sqrt{x^2+1})=3$
$\Leftrightarrow 4Q=3$
$\Leftrightarrow Q=\frac{3}{4}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 5 2021
\(P=\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}+2020=\dfrac{x^5+y^5}{\left(xy\right)^2}+2020=\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(xy\right)^2\left(x+y\right)}{\left(-2\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]-\left(-2\right)^2.5}{4}\)
\(=\dfrac{\left(-8+6.5\right)\left(25+4\right)-20}{4}=...\)
NP
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 5 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$x^5+x^5+x^5+1+1\geq 5\sqrt[5]{x^{15}}=5x^3$
$y^5+y^5+y^5+1+1\geq 5\sqrt[5]{y^{15}}=5y^3$
$\Rightarrow 3(x^5+y^5)+4\geq 5(x^3+y^3)\geq 10$ (do $x^3+y^3\geq 2$)
$\Leftrightarrow x^5+y^5\geq 2$
Vậy $C_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 8 2021
\(\Leftrightarrow6\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+20=\dfrac{5\left(x+y\right)\left(xy+3\right)}{xy}\ge\dfrac{5\left(x+y\right)2\sqrt{3xy}}{xy}=10\sqrt{3}\left(\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}\right)\)
Đặt \(\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}=t\ge2\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t^2-2\)
\(\Rightarrow6\left(t^2-2\right)+20\ge10\sqrt{3}t\)
\(\Rightarrow3t^2-5\sqrt{3}t+4\ge0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{3}t-1\right)\left(\sqrt{3}t-4\right)\ge0\)
Do \(t\ge2\Rightarrow\sqrt{3}t-1>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}t-4\ge0\Rightarrow t\ge\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow t^2\ge\dfrac{16}{3}\Rightarrow t^2-2\ge\dfrac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge\dfrac{10}{3}\) (do \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t^2-2\))
Vậy \(A_{min}=\dfrac{10}{3}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)
Ta có: \(\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\) \(\Rightarrow5^2=x^2+y^2-4\)(vì \(\hept{\begin{cases}x+y=5\\xy=-2\end{cases}}\)) \(\Rightarrow x^2+y^2=29\)
Mặt khác \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=5\left(29+4\right)=165\)(vì \(\hept{\begin{cases}x+y=5\left(đề\right)\\xy=-2\left(đề\right)\\x^2+y^2=29\left(cmt\right)\end{cases}}\))
\(\Rightarrow x^3+y^3=165\)(ý thứ nhất)
Ta có \(xy=-2\Rightarrow x^2y^2=4\); \(\hept{\begin{cases}x+y=5\\xy=-2\end{cases}}\Rightarrow xy\left(x+y\right)=5.\left(-2\right)\Rightarrow x^3y+xy^3=-10\Rightarrow-\left(x^3y+xy^3\right)=10\)
Lại có \(\left(x+y\right)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\)\(\Rightarrow5^4=x^4+y^4+4\left(x^3y+xy^3\right)+6.4\)( bởi lẽ \(\hept{\begin{cases}x+y=5\left(đề\right)\\x^2y^2=4\left(cmt\right)\end{cases}}\))
\(\Rightarrow625=x^4+y^4+4.\left(-10\right)+24\)(vì \(x^3y+xy^3=-10\left(cmt\right)\))\(\Rightarrow x^4+y^4=625-24+40=641\)
Mặt khác nữa, ta có \(x^5+y^5=\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)\)
\(\Rightarrow x^5+y^5=5.\left[\left(x^4+y^4\right)-\left(x^3y+xy^3\right)+x^2y^2\right]\)(vì \(x+y=5\left(đề\right)\))
\(\Rightarrow x^5+y^5=5\left(641+10+4\right)=3275\)(vì \(\hept{\begin{cases}x^4+y^4=641\left(cmt\right)\\-\left(x^3y+xy^3\right)=10\left(cmt\right)\\x^2y^2=4\left(cmt\right)\end{cases}}\)
Vậy \(x^5+y^5=3275\)(ý thứ hai)