Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề : \(P=\frac{x^2+12}{x+y}+y\)
\(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)
\(\ge x-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)( Áp dụng BĐT Cô - si )
\(=\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{12}{x+y}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{4}.12}=6\) ( Áp dụng BĐT Cô - si 1 lần nữa )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{x+y}=\frac{1}{4}\left(x+y\right)\\\frac{3}{4}\left(x+y\right)=\frac{12}{\left(x+y\right)}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=4\end{cases}}}\)
Vậy Min P = 6 khi x = y =2
Đặt S=\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+2xy+y^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy< \frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Do đó \(S\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}+2\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}}+2=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y
Vậy MinS=6 đạt được khi x=y
Ta có:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
= \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(\ge\left(x+y\right)^2.\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4xy}{2xy}=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
Vậy min \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)= 6 đạt tại x = y.
\(M=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)
\(=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}+\frac{3}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{4xy}}+\frac{3}{4}.\frac{2xy}{xy}\)
\(\Rightarrow M\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y>0\)
AM-GM thôi :))
\(M=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{x^2+y^2}{2xy}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}\ge2\sqrt{\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{2xy}}=2\)
\(\frac{x^2+y^2}{2xy}\ge\frac{2xy}{2xy}=1\)
\(\Rightarrow VT\ge3+2+1=6\)
Dấu = xảy ra khi x=y
\(M=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)
\(M=\left(1-2xy\right)+\dfrac{1-2xy}{\left(xy\right)^2}+4=\dfrac{1}{\left(xy\right)^2}-\dfrac{2}{xy}-2xy+5\\ \)đặt 1/xy= t \(\left(x+y\right)=1\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow t\ge4\)
\(M=t^2-2t-\dfrac{2}{t}+5\)
khi t > 1 hiển nhiên M luôn tăng khi t tăng => \(Mmin=M\left(4\right)=4.4-2.4-\dfrac{2}{4}+5=\dfrac{25}{2}\)
Đẳng thức khi t=4 => xy=1/4 => x=y=1/2
Ta có:
\(M=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\right)+\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\)
Có: \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}.\frac{3}{2x+y}}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}=\frac{3}{2x+y}\)
Có: \(\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\ge\frac{5}{8}\sqrt{2xy}=\frac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2
Do đó \(M\ge\frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> x=1 và y=2
Vậy GTNN của M là 11/4 khi x=1 và y=2
Lời giải
Dư đoán xảy ra cực trị tại \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta biến đổi P như sau: \(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{2x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{2y.\frac{1}{y}}-\left(x+y\right)\)\(=4\sqrt{2}-\left(x+y\right)\)
\(=4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\sqrt{x^2.\frac{1}{2}}+\sqrt{y^2.\frac{1}{2}}\right)\)
\(\ge4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\frac{x^2+y^2+1}{2}\right)=4\sqrt{2}-1\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
Vậy ...
Đề đúng: \(P=\frac{x^2+12}{x+y}+y\)
\(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)
\(\ge x-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)(Áp dụng BĐT Cô-si)
\(=\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{12}{x+y}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{4}.12}=6\)(Áp dụng BĐT Cô-si 1 lần nữa)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2}{x+y}=\frac{1}{4}\left(x+y\right)\\\frac{3}{4}\left(x+y\right)=\frac{12}{\left(x+y\right)}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy MinP=6 khi và chỉ khi x=y=2
Nguyễn Việt LâmNguyễn Lê Phước ThịnhVũ Minh TuấnBăng Băng 2k6