LA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
17 tháng 10 2020
1. Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=m\\\frac{1}{b}=n\\\frac{1}{c}=p\end{cases}}\) khi đó \(\hept{\begin{cases}m+n+p=3\\M=2\left(m^2+n^2+p^2\right)+mnp\end{cases}}\)
Áp dụng Cauchy ta được:
\(\left(m+n-p\right)\left(m-n+p\right)\le\left(\frac{m+n-p+m-n+p}{2}\right)^2=m^2\)
\(\left(n+p-m\right)\left(n+m-p\right)\le n^2\)
\(\left(p-n+m\right)\left(p-m+n\right)\le p^2\)
\(\Rightarrow\left(m+n-p\right)\left(n+p-m\right)\left(p+m-n\right)\le mnp\)
\(\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\ge m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-pm\right)+6mnp\ge mn\left(m-n\right)+np\left(n-p\right)+pm\left(p-m\right)\)
\(=mn\left(3-p\right)+np\left(3-m\right)+pm\left(3-n\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)-3\left(mn+np+pm\right)+6mnp\ge3\left(mn+np+pm\right)-3mnp\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)+9mnp\ge6\left(mn+np+pm\right)\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(\Rightarrow M\ge2\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(=\frac{5}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m+n+p\right)^2\)
\(\ge\frac{4}{3}\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3^2=4+3=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(m=n=p=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
G
23 tháng 2 2019
\(a+b=4ab\le\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a^2}{4b^2a+a}+\frac{b^2}{4a^2b+b}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
VT
14 tháng 11 2017
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có
\(\left(a+2b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)=3.\left(a^2+2b^2\right)\le3.3c^2=9c^2\)
=> \(a+2b\le3c\)
Mà \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{3}{c}\left(ĐPCM\right)\)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
T
24 tháng 1 2019
Ối,không ngờ đề gắt ~v
Theo Cô si,ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)
Suy ra \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{9}\left[\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Lại có BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\le\frac{1}{12}\left[2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Nhân abc vào mỗi vế : \(VT.abc\le\frac{1}{6}\left(ab+bc+ca\right)=\frac{abc}{6}\)
Chia cả hai vế cho abc (vì a,b,c dương nên abc khác 0): \(VT\le\frac{1}{6}< \frac{3}{16}\)(đpcm)
Cũng không biết đúng hay sai nữa :v
Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với \(x;y>0\).\(\left(1\right)\)(bạn tự chứng minh nhé).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y>0\)
Đặt \(A=\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+4b^2}\).
\(A=\frac{4}{4ab}+\frac{3}{a^2+4b^2}=3\left(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\right)+\frac{1}{4ab}\).
Vì \(a;b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\)cho 2 số dương, ta được:
\(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\ge\frac{4}{a^2+4ab+4b^2}=\frac{4}{\left(a+2b\right)^2}\).
\(\Leftrightarrow3\left(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\right)\ge\frac{12}{\left(a+2b\right)^2}\).
\(\Leftrightarrow3\left(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\right)\ge\frac{12}{1^2}=12\)(vì \(a+2b=1\)) \(\left(2\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a^2+4b^2=4ab\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\).
\(\Leftrightarrow a=2b\)mà \(a+2b=1\)nên \(a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{4}\).
Vì \(a;b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a+2b\ge2\sqrt{2ab}\).
\(\Leftrightarrow\left(a+2b\right)^2\ge4.2ab\).
\(\Leftrightarrow1^2\ge8ab\)(vì \(a+2b=1\)).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge4ab\).
\(\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{2}}\le\frac{1}{4ab}\Leftrightarrow2\le\frac{1}{4ab}\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b\)mà \(a+2b=1\)nên \(a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{4}\).
Từ \(\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\), ta được:
\(3\left(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\right)+\frac{1}{4ab}\ge12+2\).
\(\Leftrightarrow A\ge14\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{4}\).
Vậy nếu \(a;b>0\)thỏa mãn \(a+2b=1\)thì \(\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+4b^2}\ge14\).