Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\\ \Rightarrow Q(a^2+ab+b^2)=a^2-ab+b^2\)
$\Leftrightarrow a^2(Q-1)+a(Qb+b)+(Qb^2-b^2)=0(*)$
Vì $Q$ tồn tại nên PT $(*)$ luôn có nghiệm.
Điều này xảy ra khi:
$\Delta=(Qb+b)^2-4(Q-1)(Qb^2-b^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow b^2(Q+1)^2-4b^2(Q-1)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (Q+1)^2-4(Q-1)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (Q+1-2Q+2)(Q+1+2Q-2)\geq 0$
$\Leftrightarrow (3-Q)(3Q-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\leq Q\leq 3$
$\Rightarrow Q_{\min}=\frac{1}{3}; Q_{\max}=3$
Vì a+b+c=0 nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(c+a\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\left(b+c\right)^2\\b^2=\left(c+a\right)^2\\c^2=\left(a+b\right)^2\end{matrix}\right.\).Thay vào P được : \(P=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{1}{2}\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\right)\)
.Ta có đẳng thức sau \(a^3+b^3+c^3-3ab=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Thay vào P đc \(P=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\).Đẳng thức trên chứng minh rất dễ
Từ $a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 (*)$
$\Rightarrow b^2+2bc+c^2=a^2 \Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc$
Tương tự $b^2-c^2-a^2=2ca,c^2-a^2-b^2=2ab$
Mặt khác từ $(*)$ $\Rightarrow b^3+3bc(b+c)+c^3=-a^3 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=-3bc(b+c) \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$
Do vậy \(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} - {b^2} - {c^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} - {c^2} - {a^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} - {a^2} - {b^2}}}\)
\( = \dfrac{{{a^2}}}{{2bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{2ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{2ab}} = \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{2abc}} = \dfrac{{3abc}}{{2abc}} = \dfrac{3}{2}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+2b+1=0\left(1\right)\\b^2+2c+1=0\left(2\right)\\c^2+2a+1=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a^2+2a+1+b^2+2b+1+c^2+2c+1=0\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c=-1\)
\(A=a^{2003}+b^{2009}+c^{2011}=\left(-1\right)^{2003}+\left(-1\right)^{2009}+\left(-1\right)^{2011}=-3\)
1/ \(a+b+c=11\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=121\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{121-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\frac{121-87}{2}=17\)
2/ \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(=\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b+c\right)=0\)
3/ \(x^4+3x^3y+3xy^3+y^4\)
\(=\left(\left(x+y\right)^2-2xy\right)^2-2x^2y^2+3xy\left(\left(x+y\right)^2-2xy\right)\)
\(=\left(9^2-2.4\right)^2-2.4^2+3.4.\left(9^2-2.4\right)=6173\)
bạn alibaba nguyễn có thể làm lại giúp mình được không ?