Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa lại đề: \(M=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2-x\right)^2}\)
\(M=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2-x\right)^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x-1\right)^3\left(2-x\right)^3}}=\frac{3}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}\)
\(=\frac{-3}{x^2-3x+2}=\frac{-3}{\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)-\frac{1}{4}}=\frac{-3}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}\ge\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}=\frac{1}{\left(2-x\right)^2}\\\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}}\)
...
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\geq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}\right)^2+\frac{1}{(a-c)^2}=\frac{(c-a)^2}{2(b-a)^2(c-b)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\)
Đặt $b-a=x; c-b=y(x,y>0)$ thì $c-a=x+y$. Khi đó: $P\geq \frac{(x+y)^2}{2x^2y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}$
Vì $0\leq a< c\leq 2\Rightarrow x+y=c-a\in (0;2]$
$\Rightarrow (x+y)^2\leq 4$
$\Rightarrow 4xy\leq (x+y)^2\leq 4\Rightarrow xy\leq 1$
Do đó:
$P=\frac{7(x+y)^2}{16x^2y^2}+\frac{(x+y)^2}{16x^2y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{7.4xy}{16x^2y^2}+2\sqrt{\frac{1}{16x^2y^2}}$
$=\frac{7}{4xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{9}{4xy}\geq \frac{9}{4}$ do $xy\leq 1$
Vậy $P_{\min}=\frac{9}{4}$
Cái này có vẻ không liên quan đến bài toán đang đề cập // Bạn tránh spam những thứ không liên quan. Mình sẽ xóa bài spam sau khi bạn đọc được những dòng này.