Question

[lê anh]

cho 0<=a,b,c<=2; a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của A= a^2+b^2+c^2

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(a,b,c\le2\)nên \(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow abc-2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)-8\le0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge\frac{4.3-8-abc}{2}\ge2\)(do \(a,b,c\ge0\)nên \(abc\ge0\)) 

\(A=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\le3^2-2.2=5\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\abc=0\\\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=1\\c=2\end{cases}}\)và các hoán vị.