Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$$
\(Q=1964\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\right)+15\left(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)+10\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\right)\)
\(\ge1964\cdot\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}+15\cdot\frac{4}{2p-\left(b+c\right)}+10\cdot\frac{4}{2p-\left(c+a\right)}\)
\(=4\left(\frac{15}{a}+\frac{10}{b}+\frac{1964}{c}\right)=4\cdot2006=8024\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{117}{118}\)
Áp dungj BĐt Cauchy - Schwarz :
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\)
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\)
Cộng theo vế và thu gọn ta được :
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có : đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Ta có
\(P=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow2p=a+b+c\)
áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(1\right)\)
C/m tương tự ta có
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\left(2\right)\)
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{b}\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) => đpcm
Dễ dàng CM BĐT sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b},\forall a,b>0\)
Áp dung: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\\\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\\\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{2p-c-a}=\frac{4}{b}\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế các BĐT trên => ĐPCM
A B C M I r D E F
a) Gọi tâm của đường tròn nội tiếp \(\Delta\)ABC là I. (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F
Ta có \(S_{BIC}=\frac{1}{2}ID.BC=r.\frac{BC}{2}\). Tương tự \(S_{CIA}=r.\frac{CA}{2};S_{AIB}=r.\frac{AB}{2}\)
Vậy \(S_{ABC}=r.\frac{BC+CA+AB}{2}=pr\)(đpcm).
b) Đặt \(BC=a,CA=b,AB=c,AM=m_A,BM=m_B,CM=m_C\)
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến có \(m_A=\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{m_A}=\frac{2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}\), Hoàn toàn tương tự đối với \(m_B,m_C\)
Từ đó \(\frac{1}{m_A}+\frac{1}{m_B}+\frac{1}{m_C}=\frac{2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)-b^2}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}}\)
Lại có \(r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{p}=\sqrt{\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}}\)(Công thức Heron)
\(=\frac{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\sqrt{a+b+c}}\)
Kết hợp với giả thiết \(\frac{1}{m_A}+\frac{1}{m_B}+\frac{1}{m_C}=\frac{1}{r}\) suy ra:
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}+\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)-b^2}}+\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)(1)
Áp dụng BĐT Cauchy: \(VT_{\left(1\right)}\le\frac{1}{\sqrt{\left(b+c\right)^2-a^2}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right)^2-b^2}}+\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)^2-c^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{a+b+c}}.\frac{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}+\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}+\sqrt{\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{a+b+c}}.\frac{a+b+c}{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}=VP_{\left(1\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)<=> \(\Delta\)ABC đều (đpcm).
A B C H K G
Vẽ tam giác ABC với các chiều cao tương ứng là AH, BK, CG.
Ta có \(\Delta AHC\sim\Delta BKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{BK}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{BK}\right)^2=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AC^2}{BC^2}\)
Tương tự \(\Delta AHB\sim\Delta CGB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{CG}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{CG}\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}\)
Ta có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{BK^2}+\frac{1}{CG^2}\Leftrightarrow\frac{AH^2}{BK^2}+\frac{AH^2}{CG^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1\)
\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow\) tam giác ABC vuông tại A.