Question

[Licute]

 

Cho hình bình hành ABCD có E là trung điểm AD, F là trung điểm BC.

a) CMR: BE= DF

b) Gọi O là trung điểm EF. CMR: EF,DB,AC đồng quy

c) AC cắt BE, DF lần lượt tại I và K. CMR: DI // BK và AI = IK = CK

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: \(BF=FC=\dfrac{BC}{2}\)

\(AE=ED=\dfrac{AD}{2}\)

mà BC=AD

nên BF=FC=AE=ED

Xét tứ giác BFDE có

BF//DE

BF=DE

Do đó: BFDE là hình bình hành

=>EB=DF(3)

b: Ta có: BFDE là hình bình hành

=>BD cắt FE tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của FE

nên O là trung điểm của BD

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của BD

nên O là trung điểm của AC

=>AC,BD,EF đồng quy tại O

c: Xét ΔABD có

BE,AO là các đường trung tuyến

BE cắt AO tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔABD

=>\(BI=\dfrac{2}{3}BE\left(1\right)\)

Xét ΔDBC có

DF,CO là các đường trung tuyến

DF cắt CO tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔDBC

=>\(DK=\dfrac{2}{3}DF\left(2\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra BI=DK

Xét tứ giác BIDK có

BI//DK

BI=DK

Do đó: BIDK là hình bình hành

=>BK=DI

Xét ΔBCI có

F là trung điểm của CB

FK//BI

Do đó: K là trung điểm của CI

=>CK=KI

Xét ΔAKD có

E là trung điểm của AD

EI//KD

Do đó: I là trung điểm của AK

=>AI=IK

Do đó: AI=IK=KC