Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sau khi ib với Hoàng Nguyễn thì đề bài như sau
Tìm \(n\inℕ\)biết
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=11\)
ĐKXĐ: n > 1
Ta đi c/m bài toán tổng quát
\(\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{a-1}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}{a-a+1}\)
\(=\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\)
Áp dụng vào bài toán đc
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n-1}-1=11\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n-1}=12\)
\(\Leftrightarrow n-1=144\)
\(\Leftrightarrow n=145\left(TmĐKXĐ\right)\)
Vậy n = 145
2.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x-3}{4}=\frac{y+5}{3}=\frac{z-4}{5}=\frac{2x-3-3y-5+4z-4}{2.4-3.3+4.5}=\frac{2x-3y+4z-12}{19}=\frac{75-12}{19}=\frac{63}{19}\)
=> x,y,z=
1) Ta có : \(\sqrt{50}+\sqrt{26}+1>\sqrt{49}+\sqrt{25}+1=7+5+1=13=\sqrt{169}>\sqrt{168}\)
=> \(\sqrt{50}+\sqrt{26}+1>\sqrt{168}\)
6) Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\)
Khi đó M > \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> M > 1
Lại có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\end{cases}}\)
Khi đó M < \(\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
=> M < 2 (2)
Kết hợp (1) và (2) => 1 < M < 2
=> \(M\notinℤ\)(ĐPCM)
a) \(A=\frac{1}{\sqrt{x}+10}\) \(\left(x\ge0\right)\)
có \(\sqrt{x}\ge0\)=> \(\sqrt{x}+10\ge10\)
A lớn nhất <=> \(\sqrt{x}+10\)nhỏ nhất <=> \(\sqrt{x}+10=10\)<=> \(\sqrt{x}=0\)<=> x = 0
Vậy \(maxA=\frac{1}{\sqrt{0}+10}=\frac{1}{10}\)
b) \(B=\frac{4}{2-\sqrt{x}}\) \(\left(x\ge0;x\ne4\right)\)
ta có: \(\sqrt{x}\ge0\)với mọi x
=> \(-\sqrt{x}\le0\Leftrightarrow2-\sqrt{x}\le2\)
B đạt GLNN khi \(2-\sqrt{x}\)lớn nhất \(\Leftrightarrow2-\sqrt{x}=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\)
vậy \(minB=\frac{4}{2-\sqrt{0}}=\frac{4}{2}=2\)
thầy nói đề sai rồi mà
phải là cm ƯCLN của a và b ko lớn hơn \(\sqrt{m+n}\)
Gọi \(gcd\left(m;n\right)=d\Rightarrow m=ad;n=bd\left(a,b\inℕ^∗\right)\) và \(\left(m;n\right)=1\)
Ta có:
\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{m^2+m+n^2+n}{mn}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+\left(a+b\right)}{abd}\)
\(\Rightarrow a+b⋮d\Rightarrow a+b\ge d\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)
Vậy ta có đpcm
\(M=2009-\sqrt{x^2+4}\)
\(M=2009-\sqrt{x^2+2^2}\)
\(M=2009-\left|x+2\right|\)
\(\left|x+2\right|\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow2009-\left|x+2\right|\le2009\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left|x+2\right|=0\Rightarrow x=-2\)
\(N=\sqrt{3x-1}-9\)
\(\sqrt{3x-1}\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\sqrt{3x-1}-9\ge-9\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\sqrt{3x-1}=0\Rightarrow3x=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}\)
a) ta có : \(M=2019-\sqrt{x^2+4}\) lớn nhất \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+4}\) bé nhất \(x^2+4\) bé nhất
ta có : \(x^2\ge0\) với mọi giá trị của \(x\) \(\Rightarrow x^2+4\ge4\) với mọi giá trị của \(x\)
\(\Rightarrow\) GTNN của \(x^2+4\) là \(4\) khi \(x=0\)
\(\Leftrightarrow\) GTLN của M là \(2019-\sqrt{0^2+4}=2019-2=2017\) khi \(x=0\)
b) điều kiện \(3x-1\ge0\Leftrightarrow3x\ge1\Leftrightarrow x\ge\dfrac{1}{3}\)
ta có : \(N=\sqrt{3x-1}-9\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\sqrt{3x-1}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow3x-1\) nhỏ nhất
ta có : \(\sqrt{3x-1}\) được xát định khi \(3x-1\ge0\)
vậy GTNN của \(3x-1\) là 0 khi \(x=\dfrac{1}{3}\)
vậy GTNN của N là \(\sqrt{3.\dfrac{1}{3}-1}-9=0-9=-9\) khi \(x=\dfrac{1}{3}\)
a) √0,01-√0,25=\(-\frac{2}{5}\)
b) 0,5.√100-√14
= 5 -\(\sqrt{14}\)
= 5-\(\sqrt{14}\)
\(a,\sqrt{0,01}-\sqrt{0,25}=\sqrt{\frac{1}{100}}-\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{10}-\frac{1}{2}=\frac{1}{10}-\frac{5}{10}=-\frac{4}{10}=-\frac{2}{5}\)
\(b,0,5\sqrt{100}-\sqrt{\frac{1}{4}}=0,5\cdot10-\frac{1}{2}=\frac{5}{10}\cdot10-\frac{1}{2}=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)
+) Để n lớn nhất => m lớn nhất
+) Để n thuộc N
=> \(\sqrt{m-174}\in N\)
\(\sqrt{m+34}\in N\)
Đặt m-174 =a^2 , m+34 =b^2 ( a, b thuộc N)
=> \(b^2-a^2=34+174=208\)
=> \(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=208\) là số chẵn
=> b-a , b+a đồng thời là số chẵn và b+a>b-a
Vì n lớn nhất => a+b lớn nhất
Xét trường hợp:
TH: \(\hept{\begin{cases}b-a=2\\b+a=104\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}b=53\\a=51\end{cases}}\)thử lại thấy thỏa mãn với m=2775 thay vào tính được n=53+51=104
Vậy n=104