Question

[Nguyễn Thị Diệu]

Bài 2: Với n là số nguyên dương, CMR C1n+2C2n+ 3C3n +...+ nCnn = n.2^n-1
 

mình đang cần gấp. giải chi tiết ạ.

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Ta có:

\(kC_n^k=k.\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{n\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\left[n-1-\left(k-1\right)\right]!}=nC_{n-1}^{k-1}\). 

Áp dụng ta được: 

\(C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^n\)

\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)

Mà ta lại có:

 \(2^{n-1}=\left(1+1\right)^{n-1}=C_{n-1}^0.1^0.1^{n-1-0}+C_{n-1}^1.1^1.1^{n-1-1}+...+C_{n-1}^{n-1}.1^{n-1}.1^0\)

\(=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\)

Do đó ta có đpcm.