Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
e)
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
=> ĐPCM
a/ Bình phương 2 vế:
\(\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\le\frac{a+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ Bình phương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge ac+bd\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2-2abcd+b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
\(1a.A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\right):\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{6}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\dfrac{\sqrt{x}-3}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}\) ( x ≥ 0 ; x # 9 )
\(b.A>\dfrac{1}{3}\) ⇔ \(\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}>\dfrac{1}{3}\text{⇔}\dfrac{3-\sqrt{x}}{3\left(\sqrt{x}+3\right)}>0\)
⇔ \(3-\sqrt{x}>0\)
⇔ \(x< 9\)
Kết hợp ĐKXĐ , ta có : \(0\text{≤}x< 9\)
\(c.\) Tìm GTLN chứ ?
\(A=\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}\text{≤}\dfrac{2}{3}\)
⇒ \(A_{MAX}=\dfrac{2}{3}."="x=0\left(TM\right)\)
\(a.VT=2\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-2\right)+\left(1+2\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-4\sqrt{2}+9+4\sqrt{2}-2\sqrt{6}=9=VP\)Vậy , đẳng thức được chứng minh .
\(b.VT=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}=VP\)Vậy , đẳng thức được chứng minh .
\(c.VT=\sqrt{\dfrac{4}{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}}-\sqrt{\dfrac{4}{\left(2+\sqrt{5}\right)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{2\left(\sqrt{5}+2\right)-2\left(\sqrt{5}-2\right)}{5-4}=8=VP\)Vậy , đẳng thức được chứng minh .
a) Please xem lại đề
b) \(a+b\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}-2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{a}+1\right)+\left(b-2\sqrt{b}+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
c) Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số
\(a+\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(a-b\right).b.\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}}=3\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a-b=b=\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\Leftrightarrow a=2;b=1\)
d) Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số
\(\dfrac{3x^4+16}{x^3}=3x+\dfrac{16}{x^3}=x+x+x+\dfrac{16}{x^3}\ge4\sqrt[4]{x.x.x.\dfrac{16}{x^3}}=8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{x^3}\Leftrightarrow x=2\)
Bài 1.a) Ta có : \(\left(2a+2b\right)\left(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\right)=2.\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)=1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\left(1\right)\)Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a^2+b^2\) ≥ \(2ab\)
⇔ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2 ( 2)
Từ ( 1; 2) ⇒ \(\left(2a+2b\right)\left(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\right)\) ≥ 2
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a+b\) ≥ \(2\sqrt{ab}\) ( 1 )
\(b+c\) ≥ \(2\sqrt{bc}\) ( 2 )
\(c+a\) ≥ \(2\sqrt{ac}\) ( 3 )
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta có :
\(2\left(a+b+c\right)\) ≥ \(2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
⇔ \(a+b+c\) ≥ \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
a, \(\sqrt{b}\) tồn tại \(\Leftrightarrow b>0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b}+1\ne0\\\sqrt{b}-1\ne0\\b-1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b\ne1\)
Vậy B có nghĩa khi \(\left\{{}\begin{matrix}b>0\\b\ne1\end{matrix}\right.\)
b,
\(B=\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+1}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1}-\dfrac{2}{b-1}\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+1}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1}-\dfrac{2}{\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-1\right)-\sqrt{b}\left(\sqrt{b}+1\right)-2}{\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)}=\dfrac{b-\sqrt{b}-b-\sqrt{b}-2}{\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)}=\dfrac{-2\left(\sqrt{b}+1\right)}{\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)}=\dfrac{-2}{\sqrt{b}-1}=\dfrac{2}{1-\sqrt{b}}\)
c,
\(B>1\Leftrightarrow2>1-\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow2-\left(1-\sqrt{b}\right)=1+\sqrt{b}>0\) (luôn đúng với mọi b)
=> Với mọi b có ĐKXĐ là b khác 0 và b > 1 thì B > 1
Lời giải:
a)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(x^3+x^2+x+1\geq 4\sqrt[4]{x^3.x^2.x.1}=4\sqrt[4]{x^6}\)
\(\Rightarrow (x^3+x^2+x+1)^2\geq 16\sqrt{x^6}\)
\(\Leftrightarrow (x^3+x^2+x+1)^2\geq 16x^3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=1\)
b)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{b+c}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\left(\frac{b+c+a}{a}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}\geq 4\left(\frac{a}{a+b+c}\right)^2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\)
Thực hiện tương tự với cac phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=1\Rightarrow a+b+c=2a=2b=2c\)
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow \frac{b+c}{a}=2\neq 1\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra
Vì vậy: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-a+a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}-\dfrac{a-b}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{a-c}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)+\dfrac{a-c}{2}\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\cdot\dfrac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{2}\cdot\dfrac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{2}\left(\dfrac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)