Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cần cách khác thì nhắn cái
3
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow\text{Đ}PCM\)
2b)
Ta có: \(x^2+y^2-4x-2y+5=0\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-2y+4+1=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}}\)
c) \(x^4-11x^2+4x-21=0\Leftrightarrow x^4-10x^2+25-x^2+4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-5\right)^2-\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x^2-x-5+2\right)\left(x^2+x-5-2\right)=0\)
đến đây tự làm
\(1,M=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2b^2\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2\left(a+b\right)\)
Thay \(a+b=1\) vào ta được:
\(1\left(1-3ab\right)+3ab\left(1-2ab\right)+6a^2b^2\)
\(=1-3ab+3ab-6a^2b^2+6a^2b^2\)
\(=1\)
Vậy ......................
\(3x^2+3y^2+4xy+2x-2y+2=0\)
\(\Rightarrow\left(2x^2+4xy+2y^2\right)+\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)=0\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\x+1=0\\y-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}}\)
Khi đó: \(A=\left(-1+1\right)^{2014}+\left(-1+2\right)^{2015}+\left(1-1\right)^{2016}\)
\(=0+1+0=1\)
1) \(A=-2x^2-10y^2+4xy+4x+4y+2013=-2\left(x-y-1\right)^2-8\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+2017\le2017\forall x,y\inℝ\)Đẳng thức xảy ra khi x = 3/2; y = 1/2
2) \(A=a^4-2a^3+2a^2-2a+2=\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)^2+1\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 1
3) \(N=\left(x-y\right)\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\left(x-4y\right)+y^4=\left(x^2-5xy+4y^2\right)\left(x^2-5x+6y^2\right)+y^4=\left(x^2-5xy+4y^2\right)^2+2y^2\left(x^2-5xy+4y^2\right)+y^4=\left(x^2-5xy+5y^2\right)^2\)(là số chính phương, đpcm)
4) \(a^3+b^3=3ab-1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3ab+1=0\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^3+1\right]-3ab\left(a+b+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(a^2+2ab+b^2-a-b+1\right)-3ab\left(a+b+1\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2-ab-a-b+1\right)=0\)Vì a, b dương nên a + b + 1 > 0 suy ra \(a^2+b^2-ab-a-b+1=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=1\)
Do đó \(a^{2018}+b^{2019}=1+1=2\)
5) \(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9\)(Do số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0)
\(1a.A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\right):\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{6}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\dfrac{\sqrt{x}-3}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}\) ( x ≥ 0 ; x # 9 )
\(b.A>\dfrac{1}{3}\) ⇔ \(\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}>\dfrac{1}{3}\text{⇔}\dfrac{3-\sqrt{x}}{3\left(\sqrt{x}+3\right)}>0\)
⇔ \(3-\sqrt{x}>0\)
⇔ \(x< 9\)
Kết hợp ĐKXĐ , ta có : \(0\text{≤}x< 9\)
\(c.\) Tìm GTLN chứ ?
\(A=\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}\text{≤}\dfrac{2}{3}\)
⇒ \(A_{MAX}=\dfrac{2}{3}."="x=0\left(TM\right)\)
\(a.VT=2\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-2\right)+\left(1+2\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-4\sqrt{2}+9+4\sqrt{2}-2\sqrt{6}=9=VP\)Vậy , đẳng thức được chứng minh .
\(b.VT=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}=VP\)Vậy , đẳng thức được chứng minh .
\(c.VT=\sqrt{\dfrac{4}{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}}-\sqrt{\dfrac{4}{\left(2+\sqrt{5}\right)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{2\left(\sqrt{5}+2\right)-2\left(\sqrt{5}-2\right)}{5-4}=8=VP\)Vậy , đẳng thức được chứng minh .
Bài 1.a) Ta có : \(\left(2a+2b\right)\left(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\right)=2.\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)=1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\left(1\right)\)Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a^2+b^2\) ≥ \(2ab\)
⇔ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2 ( 2)
Từ ( 1; 2) ⇒ \(\left(2a+2b\right)\left(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\right)\) ≥ 2
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a+b\) ≥ \(2\sqrt{ab}\) ( 1 )
\(b+c\) ≥ \(2\sqrt{bc}\) ( 2 )
\(c+a\) ≥ \(2\sqrt{ac}\) ( 3 )
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta có :
\(2\left(a+b+c\right)\) ≥ \(2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
⇔ \(a+b+c\) ≥ \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)