DT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
Biến đổi tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)
b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2 tháng 5 2021
(a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca) (*)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ≥ 3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca
nhân 2 vào cho 2 vế ta được:
2a2+2b2+2c2 ≥ ≥ 2ab+2bc+2ca
=> (a+b)2+(b+c)2+(c+a)2 ≥ 0 (luôn đúng)
=> (*) đúng
XO
16 tháng 2 2021
1) Ta có a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (a2 - 2ac + c2) = 0
=> (a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 = 0
=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\a=c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\left(\text{đpcm}\right)\)
U
16 tháng 2 2021
a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0
<=> a-b = 0 và b-c=0 và c-a=0
<=> a=b=c
a^2/b+c + b^2/a+c + c^2=a+b
= a(a/b+c) + b(b/a+c) + c(c/a+b)
= a(a/b+c + 1 - 1) + b(b/a+c + 1 - 1) + c(c/a+b + 1 - 1)
= a(a+b+c/b+c) - a + b(a+b+c/a+c) - b + c(a+b+c/a+b) - c
= (a+b+c)(a/b+c + b/a+c + c/a+b) - (A+b+c)
mà a/b+c + b/a+c + c/a+b = 1
= a+b+c - (a+b+c)
= 0
DT
1
25 tháng 7 2021
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)
HL
0
VT
21 tháng 10 2019
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
CR
2
22 tháng 10 2016
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Rightarrow2.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=2.0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(a^2+c^2-2ac\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy ...
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca)
<=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca
<=> a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
<=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) = 0
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\) (đpcm)