Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2xyz\le x^2+y^2z^2\)
<=> \(\left(x-yz\right)^2\ge0\) đúng với mọi x; y; z
Vậy \(2xyz\le x^2+y^2z^2\) với mọi x; y ; z
Bài 1:
a) \(\Delta=(1-\sqrt{3})^2-4(\sqrt{3}-2)=12-6\sqrt{3}>0\) nên pt có nghiệm.
Mệnh đề A sai.
b)
\(x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow x^2\geq x-\frac{1}{4} , \forall x\in\mathbb{R}\). Mệnh đề B đúng.
c) Sai, $2017$ chỉ có ước là 1 và chính nó nên là số nguyên tố.
d) \(x^2+y^2-\frac{3}{2}y+\frac{3}{4}-xy=(x^2+\frac{y^2}{4}-xy)+\frac{3}{4}y^2-\frac{3}{2}y+\frac{3}{4}\)
\(=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}(y^2-2y+1)=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}(y-1)^2\)
\(\geq 0+\frac{3}{4}.0=0\) với mọi $x,y$
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{3}{2}y+\frac{3}{4}\geq xy\)
Mệnh đề đúng.
1) Bất đẳng thức cần chứng minh
\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 + c2 + d2 + \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(ac+bd\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\left(1\right)\)
Nếu : ac + bd < 0 : BĐT luôn đúng
Nếu : ac + bd \(\ge\) 0 : Thì (1) tương đương
( ac + bd )2 \(\le\) ( a2 + b2 )( c2 + d2 )
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2abcd\le\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2abcd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad-bc\right)^2\ge0\) , luôn đúng , vậy bài toán được chứng minh
2) Chọn :\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\cos x.\cos y\\c=2\sin x.\sin y\\b=d=\sin\left(x-y\right)\end{matrix}\right.\)
Từ câu 1) ta có :
\(\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}\)
\(\ge\sqrt{\left(2\cos x.\cos y+2\sin x.\sin y\right)^2+\left(2\sin\left(x-y\right)\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{4\cos^2\left(x-y\right)+4\sin^2\left(x-y\right)}=2\)
a ) \(x^2+4y^2+3z^2+14\ge2x+12y+6z\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+4y^2-12y+9+3z^2-6z+3+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y-3\right)^2+3\left(z-1\right)^2+1\ge0\)
\(\LeftrightarrowĐPCM.\)
b ) \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\LeftrightarrowĐPCM.\)
a) \(x^2+4y^2+3z^2+14\ge2x+12y+6z\)
\(\Rightarrow x^2+4y^2+3z^2+14-2x-12y-6z\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2-12y+9\right)+3\left(z^2-2z+1\right)+1\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y-3\right)^2+3\left(z-1\right)^2\ge-1\)
Xem lại đề
b)
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) *Đúng*
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
a,Áp dụng BĐT AM- GM cho các số không âm, ta có:
\(x^2+y^2z^2\ge2xyz\)
b,\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\left(1\right)\)
Vì \(x^2+xy+y^2\ge0\) \(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng
a) bpt <=> x2 - 2xyz + y2z2 ≥ 0
<=> (x - yz)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> x = yz
b) bpt <=> x4 - xy3 + y4 - x3y ≥ 0
<=> x(x3 - y3) - y(x3 - y3) ≥ 0
<=> (x - y)2(x2 - xy + y2) ≥ 0
<=> (x - y)2[(x - \(\dfrac{1}{2}\)y)2 + \(\dfrac{3}{4}\)y2] ≥ 0 (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y