Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Chứng minh AE.AC=AH.AD:
Xét \(\Delta\)AEH và \(\Delta\)ADC: ^AEH=^ADC(=900); ^DAC chung => \(\Delta\)AEH ~ \(\Delta\)ADC (g.g)
\(\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AE.AC=AH.AD\)(đpcm).
b) Chứng minh P;H;Q thẳng hàng:
Ta nối 2 điểm P và Q với điểm H.
Xét đường tròn (I): Có AQ là tiếp tuyến; AEC là cát tuyến => ^AQE=^ACQ
Xét \(\Delta\)AEQ và \(\Delta\)AQC: ^QAC chung; ^AQE=^ACQ => \(\Delta\)AEQ ~ \(\Delta\)AQC (g.g)
\(\Rightarrow\frac{AQ}{AC}=\frac{AE}{AQ}\Rightarrow AQ^2=AE.AC\)
Lại có: \(AE.AC=AH.AD\Rightarrow AQ^2=AH.AD\Rightarrow\frac{AQ}{AH}=\frac{AD}{AQ}\)
Xét \(\Delta\)AHQ và \(\Delta\)AQD: ^DAQ chung; \(\frac{AQ}{AH}=\frac{AD}{AQ}\)=> \(\Delta\)AHQ ~ \(\Delta\)AQD (c.g.c)
\(\Rightarrow\)^AQH=^ADQ (1)
Ta thấy: AP và AQ là 2 tiếp tuyến của (I) => Tứ giác APIQ nội tiếp đường tròn (Tâm là trung điểm AI)
Dễ có tứ giác ADIQ nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm AI (Do ^ADI=^AQI=900)
Từ đó suy ra: 5 điểm A;P;D;I;Q cùng thuộc 1 đường tròn => Tứ giác APDQ nội tiếp dường tròn
=> ^ADQ=^APQ (Cùng chắn cung AQ) (2)
Từ (1) và (2) => ^AQH=^APQ. Mà \(\Delta\)PAQ cân đỉnh A => ^APQ=^AQP => ^AQH=^AQP
Dễ thấy 2 tia QH và QP nằm cùng phía so với mặt phẳng bờ là AQ
=> P;H;Q là 2 điểm thẳng hàng (đpcm).
c) Chứng minh HP vuông với AK và KH vuông với AI:
Ở phần c) Mình sửa điểm P thành điểm R vì phần b) đã có điểm P rồi.
+) Ta có: Tứ giác BFEC nội tiếp (I) => ^ECB=^BFK hay ^KCE=^KFB
=> \(\Delta\)KBF ~ \(\Delta\)KEC (g.g) => \(\frac{KB}{KE}=\frac{KF}{KC}\Rightarrow KB.KC=KE.KF\)(3)
Xét đường tròn (O) có 2 cát tuyến KRA và KBC, ta có ngay tỉ số: \(\frac{KR}{KC}=\frac{KB}{KA}\Rightarrow KB.KC=KR.KA\)(4)
Từ (3) và (4) => \(KE.KF=KR.KA\)\(\Rightarrow\frac{KR}{KE}=\frac{KF}{KA}\)
=> \(\Delta\)KRF ~ \(\Delta\)KEA (c.g.c) => ^KRF=^KEA. Mà ^KRF+^FRA=1800
=> ^KEA+^FRA=1800 hay ^FRA+^FEA=1800 => Tứ giác ARFE nội tiếp đường tròn.
Mà tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn => 5 điểm A;R;F;H;E cùng thuộc 1 đường tròn
=> Tứ giác ARFH nội tiếp đường tròn => ^ARH=^AFH.
Lại có: ^AFH=900 => ^ARH=900 => HR vuông góc AR hay HR vuông góc AK (ddpcm0.
+) Gọi giao điểm của tia RH và (O) là M => ^ARM=^ARH=900
Tứ giác ARBM nội tiếp đường trong nên ^ARM=^ABM (=900) => AB vuông góc BM
Lại thấy CF vuông góc AB => CF//BM hay CH//BM
Tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn => ^ABM+^ACM=1800 => ^ACM=900
Tương tự ta c/m được: CM//BH
Xét tứ giác BHCM: CH//BM; CM//BH (cmt) => Tứ giác BHCM là hình bình hành
Do I là trung điểm BC nên H.I.M thẳng hàng => R;H;I thẳng hàng và IR vuông góc AK
Xét \(\Delta\)KAI: IR vuông AK; AD vuông KI; IR cắt AD tại H => H là trực tâm của \(\Delta\)KAI
=> KH vuông góc với AI (đpcm).
d) Chứng minh BC;EF;PQ đồng quy:
Vì EF cắt BC tại điểm K nên ta sẽ chứng minh K;P;Q là 3 điểm thẳng hàng.
Dễ có: Tứ giác APDI nội tiếp đường tròn => ^DPI=^DAI.
Mà ^DAI=^IKH (Cùng phụ góc AIK) => ^DPI=^IKH hay ^DPI=^DKP
Xét \(\Delta\)KPD: ^DKP + ^KDP+^KPD = 1800 => ^DPI + ^KDP + ^KPD = 1800
=> ^KPI + ^KDP = 1800 (5)
Để ý rằng tứ giác PDIQ nội tiếp đường tròn => ^IQP=^KDP.
Mà \(\Delta\)PIQ cân đỉnh I => ^IQP=^IPQ => ^KDP=^IPQ (6)
Từ (5) và (6) => ^KPI + ^IPQ = 1800 => ^KPQ = 1800 => 3 điểm K;P;Q thẳng hàng.
Qua đó, ta suy ra được BC;EF;PQ đồng quy (đpcm).
a, Vì CM là tiếp tuyến của (A)
=> \(CM\perp AM\)
=> ^CMA = 90o
=> M thuộc đường tròn đường kính AC
Vì ^CHA = 90o
=> H thuộc đường tròn đường kính AC
Do đó : M và H cùng thuộc đường tròn đường kính AC
hay 4 điểm A,C,M,H cùng thuộc đường tròn đường kính AC
b, Vì AM = AH ( Bán kính)
CM = CH (tiếp tuyến)
=> AC là trung trực MH
=> \(AC\perp MH\)tại I
Xét \(\Delta\)AMC vuông tại M có MI là đường cao
\(\Rightarrow MA^2=AI.AC\)(Hệ thức lượng)
c, Vì CM , CH là tiếp tuyến của (A)
=> AC là phân giác ^HAM
=> ^HAC = ^MAC
Mà ^HAC + ^HAB = 90o
=> ^MAC + ^HAB = 90o
Ta có: ^BAD + ^BAC + ^CAM = 180o (Kề bù)
=> ^BAD + 90o + ^CAM = 180o
=> ^BAD + ^CAM = 90o
Do đó ^BAD = ^BAH (Cùng phụ ^CAM)
Xét \(\Delta\)BAD và \(\Delta\)BAH có:
AB chung
^BAD = ^BAH (cmt)
AD = AH (Bán kính (A) )
=> \(\Delta BAD=\Delta BAH\left(c.g.c\right)\)
=> ^ADB = ^AHB = 90o
\(\Rightarrow BD\perp AD\)
=> BD là tiếp tuyến của (A)
Làm đc đến đây thôi :(
