Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2=\frac{1}{2}\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]^2=18\)
\(\Rightarrow P_{min}=18\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
+ Theo bđt cauchy :
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{x}{2}=\frac{x+1}{4}\Leftrightarrow x=1\)
+ Tương tự :
\(\frac{1}{y^2+y}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\) Dấu "=" <=> y = 1
\(\frac{1}{z^2+z}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\) Dấu "=" <=> z = 1
Do đó : \(P+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow P+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\) \(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" <=> x = y = z = 1
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta được
\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}\)
=> \(a^3+2\ge3a\)
Áp dụng tương tự có
\(ab+1\ge2\sqrt{ab.1}\)
=>\(ab+1\ge2\sqrt{ab}\)
=>\(\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3a}{2\sqrt{ab}}\)
=> \(\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{a}{b}}\)
Chứng minh tương tự thì Q\(\ge\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)\)
Áp dụng cô si lần nữa thì \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\ge\sqrt{\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}}=1\)
=>Q\(\ge\frac{3}{2}\)
Min Q=3/2.
#)Mất công lắm tui ms tìm đc cách bải này đấy, xin đừng cho ăn gạch đá :v
Ta có (a^3+2)/(ab+1) = 1/2.(2a^3+4)/(ab+1)
Mà 2a^3+4= (a^3+a^3+1) +3
Mặt khác theo BĐT CBS ta có a^3+a^3+1≥ 3a^2
=>2a^3 +4≥ 3(a^2+1)
Tương tự với (b^3 + 2)/(bc + 1) và (c^3 + 2)/(ca + 1)
=>Q ≥ 3/2[(a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1)]
Theo BĐT CBS=> (a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1) ≥ 3.căn bặc ba của [(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]/[(ab+1)(bc+1)(ac+1)]
Mà theo bất đẳng thức bunhicốpxki
=>(a^2+1)(b^2+1)≥(ab+1)^2
(b^2+1)(c^2+1)≥(bc+1)^2
(c^2+1)(a^2+1)≥(ac+1)^2
=>[(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]/[(ab+1)(bc+1)(ac+1)]≥1
=> (a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1) ≥ 3
=> Q ≥9/2
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1
P/s : trả công ( đùa tí :P )
#~Will~be~Pens~#
_Solution:
Prove with Cauchy-Schwarz inequality engel form, we have:
\(A=\frac{1}{x^3+3xy^2}+\frac{1}{y^3+3x^2y}\ge\frac{4}{x^3+y^3+3xy^2+3x^2y}\)
\(A\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^3}\)
Other way: \(x+y\le1\Rightarrow\left(x+y\right)^3\le1\Rightarrow\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\ge1\)
\(\Rightarrow A\ge4\) (proof)
We have ''='' \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\).