Question

[Nhật Minh Vũ]

Ai trình bày giúp mình cách tìm công thức số hạng tổng quát của 2 câu này với ạ, mình xin cảm ơn ạ.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

4.

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3u_n+1}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{3u_n+1}{u_n}=\dfrac{1}{u_n}+3\)

Đặt \(\dfrac{1}{u_n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{u_1}=2\\v_{n+1}=v_n+3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là cấp số cộng với công bội \(d=3\)

\(\Rightarrow v_n=v_1+\left(n-1\right)d=2+3\left(n-1\right)=3n-1\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{3n-1}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

6.

\(u_{n+1}=4u_n-3u_{n-1}\Leftrightarrow u_{n+1}-u_n=3\left(u_n-u_{n-1}\right)\)

Đặt \(u_{n+1}-u_n=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_2-u_1=3\\v_n=3v_{n-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là cấp số nhân với công bội \(q=3\)

\(\Rightarrow v_n=3.3^{n-1}=3^n\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=3^n\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-\dfrac{1}{2}.3^{n+1}=u_n-\dfrac{1}{2}.3^n\)

Đặt \(u_n-\dfrac{1}{2}.3^n=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=u_1-\dfrac{1}{2}.3^1=-\dfrac{1}{2}\\x_{n+1}=x_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_{n+1}=x_n=x_{n-1}=...=x_1=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow u_n-\dfrac{1}{2}.3^n=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow u_n=\dfrac{3^n-1}{2}\)