Câu hỏi của Phan Tiến Nghĩa

Question

a;b;c là các số thực Cho $\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}$

CMR:ab²+bc²+ca²=a³+b³+c³

Trần Thị Mĩ Duyên · Accepted Answer

Ta có $\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}$

$\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$

Từ $\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{c}$

Tương tự suy ra $\frac{1}{c}=\frac{1}{b};\frac{1}{b}=\frac{1}{a}$

$\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c$

Ta có $ab^2+bc^2+ca^2=a^3+b^3+c^3$(đccm)

Câu trả lời:

Ta có $\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}$

$\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$

Từ $\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{c}$

Tương tự suy ra $\frac{1}{c}=\frac{1}{b};\frac{1}{b}=\frac{1}{a}$

$\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c$

Ta có $ab^2+bc^2+ca^2=a^3+b^3+c^3$(đccm)

Huyền Trân · Answer

$\text{Một cách khác}$

$\text{Ta có:}$

$\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}$

$\Leftrightarrow ab\left(b+c\right)=bc\left(a+b\right)$

$\Leftrightarrow ab^2+abc=abc+b^2c$

$\Leftrightarrow a=c\left(1\right)$

$\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{a+c}$

$\Rightarrow bc\left(a+c\right)=ca\left(b+c\right)$

$\Rightarrow abc+bc^2=abc+c^2a$

$\Rightarrow b=a\left(2\right)$

$Từ$$\text{(1) và (2)}$$\Rightarrow a=b=c$

$\text{Ta có :}$$ab^2+bc^2+ca^2=a^3+b^3+c^3$