K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
20 tháng 3 2018
2.
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )
Tương tự.......................
20 tháng 3 2018
1. Xét hiệu : \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)
Lại có: b - a < 0 ( a > b)
ab >0 ( a>0, b > 0)
\(\Rightarrow\dfrac{b-a}{ab}< 0\)
Vậy: \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)
2. Xét hiệu : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}-2ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)
Vậy : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b
3. Xét hiệu : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)
Vậy : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:
a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)
\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng
b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)
\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2:
a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Câu 3:
a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)
\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 4:
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
D
18 tháng 11 2018
Có \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow a=c.k;b=d.k\)
\(\Rightarrow a^2=c^2.k^2;b^2=d^2.k^2\)
Khi đó \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{c^2.k^2+c^2}{d^2.k^2+d^2}=\frac{c^2.\left(k^2+1\right)}{d^2.\left(k^2+1\right)}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2}{b^2}\)
24 tháng 3 2017
Bài 1:
Ta có: (2a-2b)2 lớn hơn hặc bằng 0
<=> 4a2-8ab+4b2 lớn hơn hoặc bằng 0
<=> 5a2-a2-8ab+20b2-16b2 lớn hơn hoặc bằng 0
<=> 5a2+20b2 lớn hơn hoặc bằng a2+8ab+16b
<=> 5(a2+4b2) lớn hơn hoặc bằng (a+4b)2
<=> 5(a2+4b2) lớn hơn hoặc bằng 1 [ Thay (a+4b)2 =1]
24 tháng 3 2017
3)
\(a=b+1\Leftrightarrow a+1>b+1\Leftrightarrow a>b+1-1\\ \Leftrightarrow a>b\)
QV
1
MN
15 tháng 8 2020
1) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-ab+a+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab+2a+2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2+2a+1\right)+\left(b^2+2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=-1\)
2/ \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
Áp dụng bđt cosi : \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}=4\)(ĐPCM)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
3/ \(\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\)
Vì \(\hept{\begin{cases}a^2+a+1=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\\a^2-a+1=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\)(ĐPCM)
TM
28 tháng 5 2017
Bài 1:
a)\(A=x\left(x^2-y\right)-x^2\left(x+y\right)+y\left(x^2-x\right)\)\(=x^3-xy-x^3-x^2y+yx^2-yx=-2xy\)
Thay x=1/2 và y=-100 vào biểu thức A ta được \(A=-2.\frac{1}{2}.\left(-100\right)=100\)
b)\(B=\left(x^2-5\right)\left(x+3\right)+\left(x+4\right)\left(x-x^2\right)=x^3+3x^2-5x-15-x^3-3x^2+4x\)=-x-15
Thay x=-1 vào biểu thức B ta được B=-(-1)-15=1-15=-14
MJ
1
6 tháng 6 2018
\(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{c-1}+\dfrac{c^2}{a-1}\ge12\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b-1}-4+\dfrac{b^2}{c-1}-4+\dfrac{c^2}{a-1}-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-4b+4}{b-1}+\dfrac{b^2-4c+4}{c-1}+\dfrac{c^2-4a+4}{a-1}\ge0\)
\(a;b;c>1\Leftrightarrow a-1;b-1;c-1>0\)
\(\Leftrightarrow a^2-4b+4+b^2-4c+4+c^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2\ge0\) (Đúng)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
với mọi a, b ta có :
( a - b) ² >= 0
<=> a² - 2ab + b² >= 0
<=> a² + b² >=2ab
<=> 2 ( a² + b² ) >= a² +2ab + b²
<=> 2 (a² + b² ) >= ( a + b )² mà a+b=1 nên 2 ( a² + b² ) >=1
<=> a² + b² >= 1/2
Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2
nhớ k nha