N
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 5 2020
Lời giải:
Đầu tiên ta sẽ chứng minh $(a^3+b^3)(a^5+b^5)\leq 2(a^8+b^8)(*)$
Thật vậy, $(*)\Leftrightarrow a^3b^5+a^5b^3\leq a^8+b^8$
$\Leftrightarrow a^5(a^3-b^3)-b^5(a^3-b^3)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^5-b^5)(a^3-b^3)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^4+...+b^4)(a^2+ab+b^2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b$
Do đó $(*)$ đúng
Nhân cả 2 vế của $(*)$ với $a+b\geq 0$ suy ra:
$(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)\leq 2(a+b)(a^8+b^8)$
Ta cần chứng minh $2(a+b)(a^8+b^8)\leq 4(a^9+b^9)$
$\Leftrightarrow (a+b)(a^8+b^8)\leq 2(a^9+b^9)$
$\Leftrightarrow a^9+b^9-a^8b-ab^8\geq 0$
$\Leftrightarrow a^8(a-b)-b^8(a-b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^8-b^8)(a-b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^4-b^4)(a^4+b^4)(a-b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^4+b^4)(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a+b\geq 0$
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a+b=0$ hoặc $a=b$
31 tháng 8 2018
Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z
\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
31 tháng 8 2018
Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)
Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 11 2021
Từ giả thiết:
\(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\le4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\le2\)
Ta có:
\(\dfrac{ab+1}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2ab+2}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)^2}\)
Tương tự và cộng lại, đồng thời đặt \(\left(a+b;b+c;c+a\right)=\left(x;y;z\right)\):
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{yz.xz.xy}{x^2y^2z^2}}=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
21 tháng 12 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+2c\right)}=\frac{\sqrt{3a\left(b+2c\right)}}{\sqrt{3}}\le\frac{\frac{3a+b+2c}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3a+b+2c}{2\sqrt{3}}\)
Tương tự ta cũng có:\(\sqrt{b\left(c+2a\right)}\le\frac{3b+c+2a}{2\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{c\left(a+2b\right)}\le\frac{3c+a+2b}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế các BĐT lại ta được:
\(VT\le\frac{3a+b+2c}{2\sqrt{3}}+\frac{3b+c+2a}{2\sqrt{3}}+\frac{3c+a+2b}{2\sqrt{3}}=\frac{6a+6b+6c}{2\sqrt{3}}=\frac{6.4}{2\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
LM
16 tháng 7 2017
Bạn xem lời giải ở đây nhé https://olm.vn/hoi-dap/question/960694.html
3 tháng 7 2019
\(3=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)\(\Leftrightarrow\)\(abc\le1\)
\(VT=\frac{a^3\left(a+1\right)+b^3\left(b+1\right)+c^3\left(c+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}=\frac{a^4+b^4+c^4+a^3+b^3+c^3}{a+b+c+ab+bc+ca+abc+1}\)
\(\ge\frac{\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}+\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+5}=\frac{\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^4}{9}}{3}+\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^4}{9}}{3}}{8}\)
\(=\frac{\frac{\frac{3^4}{9}}{3}}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)