Question

[Đỗ Tuệ Lâm]

a. Cho đường thẳng (d): y = x + 1 và đường thẳng (d'): y = 2x - 2m - 1.

Tìm m để đường thẳng (d) và (d') cắt nhau tại 1 điểm nằm trong góc phần tư thứ II (em không biết là thứ 11 hay thứ II nữa thầy cô coi giúp em với ạ). (dạ giải rồi làm phước giúp em giải thích luôn câu in đậm em cảm ơn ạ)

b. Cho phương trình: \(x^2+6x+6m-m^2=0\) (với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn: 

\(x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a.

Pt hoành độ giao điểm (d) và (d'):

\(x+1=2x-2m-1\Leftrightarrow x=2m+2\)

\(\Rightarrow y=x+1=2m+3\)

2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm nằm trong góc phần tư thứ II khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m+2< 0\\2m+3>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m>-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{3}{2}< m< -1\)

2 trục tung - hoành của hệ trục tọa độ cắt nhau chia mặt phẳng tọa độ làm 4 phần đánh dấu theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ, góc phần tư thứ I là phần tương ứng từ 12 giờ đến 3 giờ (ứng với x;y đều dương), góc phần tư thứ II từ 9 giờ đến 12h ( x âm y dương), góc III từ 6h đến 9h (x;y đều âm), góc IV từ 3h đến 6h (x dương  y âm)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

b.

\(\Delta'=m^2-6m+9=\left(m-3\right)^2\ge0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-6\\x_1x_2=6m-m^2\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm nên \(x_1^2+6x_1+6m-m^2=0\Leftrightarrow2x_1^2+12x_1=2m^2-12m\)

Từ đó:

\(x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right)+2m^2-12m+72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(36+m^2-6m\right)+2\left(m^2-6m+36\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2+2\right)\left(m^2-6m+36\right)=0\)

Do \(m^2-6m+36=\left(m-3\right)^2+27>0;\forall m\)

\(\Rightarrow x_1-x_2+2=0\)

Kết hợp \(x_1+x_2=-6\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=-2\\x_1+x_2=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-4\\x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=6m-m^2\)

\(\Rightarrow6m-m^2=8\Rightarrow m^2-6m+8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=4\end{matrix}\right.\)