Question

[Nguyễn Minh Đăng]

2021-2022

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C D S M N G H P Q E F

a) Ta có \(\widehat{EQF}=180^0-\widehat{QEF}-\widehat{QFE}=180^0-\widehat{PCB}-\widehat{PBC}=\widehat{BPC}\)

Suy ra tứ giác EPQF nội tiếp.

b) Vì tứ giác EPQF nội tiếp nên \(\widehat{QPF}=\widehat{QEF}=\widehat{PCB}\), suy ra PQ || BC

(PQE) = (EFQP); (AMF) = (AEFM); (CEN) = (CNEF), ba đường tròn này cùng đi qua EF

Vậy tâm của chúng cùng nằm trên trung trực đoạn EF.

c) Gọi EF cắt AD,BC,MN lần lượt tại G,H,S

Dễ thấy \(\Delta\)FDG ~ \(\Delta\)NEH (g.g), suy ra \(\frac{DG}{EH}=\frac{FG}{NH}\) (1)

\(\Delta\)FMG ~ \(\Delta\)BEH (g.g), suy ra \(\frac{MG}{EH}=\frac{FG}{BH}\) (2)

Từ (1);(2) suy ra \(\frac{DG}{MG}=\frac{BH}{NH}\)hay \(\frac{MG}{NH}=\frac{DG}{BH}\)

Theo định lí Thales: \(\frac{MG}{NH}=\frac{SG}{SH}\). Do đó \(\frac{DG}{SG}=\frac{BH}{SH}\), suy ra \(\Delta\)GSD ~ \(\Delta\)HSB (c.g.c)

Vậy \(\widehat{GSD}=\widehat{HSB}\), mà S,G,H thẳng hàng nên B,S,D thẳng hàng hay BD,EF,MN đồng quy tại S.