Question

[nguyễn đức mạnh]

1/2+1/3+...+1/50

Chứng minh rằng tổng này không phải số tự nhiên

Answer 1

[Lê Thị Bích Tuyền]

Xét \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\) = \(\frac{\left(2+4\right)}{\left(2.4\right)}\) = \(\frac{2.3}{\left[\left(3-1\right)\left(3+1\right)\right]}\) = \(\frac{2.3}{\left(3^2-1\right)}\) > \(\frac{2.3}{3^2}\)= \(\frac{2}{3}\) = 2\(.\left(\frac{1}{3}\right)\)
=> \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\) > 3.\(\left(\frac{1}{3}\right)\) = 1          (1)
Lại xét \(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\)  + ... + \(\frac{1}{9}\) + ... + \(\frac{1}{13}\)
\(\frac{1}{8}+\frac{1}{10}\) = \(\frac{\left(8+10\right)}{\left(8.10\right)}\) = \(\frac{2.9}{\left(9^2-1\right)}\) > \(\frac{2.9}{9^2}\) = \(\frac{2}{9}\) = 2.\(\frac{1}{9}\)
Tương tự chứng minh được \(\frac{1}{7}+\frac{1}{11}\) > 2.(\(\frac{1}{9}\) )  ; \(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\) > 2. \(\frac{1}{9}\); ...; \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}\) > 2.\(\frac{1}{9}\)
=> \(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\)+ ... + \(\frac{1}{13}\) > 9.(\(\frac{1}{9}\)) = 1                               (2)
Tiếp tục xài chiêu đó, cm được 1/14+1/15+ ... + 1/38 > 25.(1/25) = 1               (3)
Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow\) a > 3 (*)

Mặt khác
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\) = 1                           (4)
\(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\) = \(\frac{1}{2}\)                        (5)
\(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\) < 3.\(\left(\frac{1}{7}\right)\) = \(\frac{3}{7}\)                 (6)
\(\frac{1}{10}+\frac{1}{11}\)+ ...+\(\frac{1}{14}\) < 5.\(\left(\frac{1}{10}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)      (7)
\(\frac{1}{15}+\frac{1}{16}\)+ ...+\(\frac{1}{19}\) < 5.\(\left(\frac{1}{15}\right)\) = \(\frac{1}{3}\)         (8)
\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}\)+ ...+\(\frac{1}{26}\) < 6\(\left(\frac{1}{21}\right)\) = \(\frac{2}{7}\)          (9)
\(\frac{1}{27}+\frac{1}{28}\)+ ...+\(\frac{1}{50}\) < 24.\(\left(\frac{1}{27}\right)\) = \(\frac{8}{9}\) (10)
Cộng (4),(5),(6),(7),(8),(9),(10) \(\Rightarrow\) a < 2 + \(\frac{5}{7}\) + \(\frac{11}{9}\) < 2 + \(\frac{7}{9}\) + \(\frac{11}{9}\) = 4 (**)

Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\) 3 < a < 4 \(\Rightarrow\) a ko phải là số tự nhiên.


 

Answer 2

[_Never Give Up_ĐXRBBNBMCSNVCNĐTĐ_]

Xét 1/2 + 1/3 + 1/4 
1/2 + 1/4 = (2+4)/(2.4) = 2.3/[(3-1)(3+1)] = 2.3/(3^2 - 1) > 2.3/3^2 = 2/3 = 2.(1/3) 
---> 1/2+1/3+1/4 > 3.(1/3) = 1 (1) 
Lại xét 1/5 + 1/6 + ... + 1/9 + ... + 1/13 
1/8+1/10 = (8+10)/(8.10) = 2.9/(9^2 - 1) > 2.9/9^2 = 2/9 = 2.(1/9) 
Tương tự cm được 1/7+1/11 > 2.(1/9) ; 1/6+1/12 > 2.1/9; ...; 1/5+1/13 > 2.1/9 
---> 1/5+1/6+ ... + 1/13 > 9.(1/9) = 1 (2) 
Tiếp tục xài chiêu đó, cm được 1/14+1/15+ ... + 1/38 > 25.(1/25) = 1 (3) 
(1),(2),(3) ---> a > 3 (*) 

Mặt khác 
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 (4) 
1/4 + 1/5 + 1/20 = 1/2 (5) 
1/7 + 1/8 + 1/9 < 3.(1/7) = 3/7 (6) 
1/10+1/11+ ...+1/14 < 5.(1/10) = 1/2 (7) 
1/15+1/16+ ...+1/19 < 5.(1/15) = 1/3 (8) 
1/21+1/22+ ...+1/26 < 6.(1/21) = 2/7 (9) 
1/27+1/28+ ...+1/50 < 24.(1/27) = 8/9 (10) 
Cộng (4),(5),(6),(7), (8),(9),(10) ---> a < 2 + 5/7 + 11/9 < 2 + 7/9 + 11/9 = 4 (**) 

Từ (*) và (**) ---> 3 < a < 4 ---> a ko phải là số tự nhiên. 

==================================== 
Cách khác (tổng quát hơn, trừu tượng hơn) 
Quy đồng mẫu số : 
Chọn mẫu số chung là M = BCNN(2;3;4;...;50) = k.2^5 = 32k (k là số tự nhiên lẻ) 
Đặt T2 = M/2; T3 = M/3; ...; T50 = M/50 
---> a = (T2+T3+ ... + T50) / M 
Chú ý rằng T2,T3,...,T50 đều chẵn, chỉ riêng T32 = M/32 = k là lẻ, còn M chẵn 
---> T2+T3+...T50 lẻ.Số lẻ ko thể là bội của số chẵn ---> a ko phải là số tự nhiên