Question

[Nguyen Uyen Phuong]

1) Tìm GTNN và GTLN của \(A=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2}\)

2) Cho a-b=1

Tính \(M=a^2\left(a+1\right)-b^2\left(b-1\right)+ab-3ab\left(a-b+1\right)\)

3) Phân tích thành nhân tử (tích):
\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24\)

4) Cho \(a+b+c=1\) và \(a^2+b^2+c^2=1\)

a) Nếu \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Chứng minh: \(xy+yz+zx=0\)

b) Nếu \(a^3+b^3+c^3=1\)

Tính a,b,c

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

1)  

Tìm Max : Viết A dưới dạng : \(A=\frac{-\left(x^2-2x+1\right)+2x^2+4}{x^2+2}=-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}+2\le2\)với mọi x

\(\Rightarrow MaxA=2\Leftrightarrow x=1\)

Tìm Min : Viết A dưới dạng : \(A=\frac{2x^2+4x+6}{2\left(x^2+2\right)}=\frac{\left(x^2+4x+4\right)+x^2+2}{2\left(x^2+2\right)}=\frac{\left(x+2\right)^2}{2\left(x^2+2\right)}+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)với mọi x

\(\Rightarrow MinA=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-2\)

2) Biểu diễn M dưới dạng : 

\(M=a^3+a^2-b^3+b^2+ab-3a^2b+3ab^2-3ab=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\right)=\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)^3\)

Thay a-b = 1 vào M được : \(M=2\)

3) \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24=\left[\left(x+1\right)\left(x+4\right)\right].\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]-24=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)-24\)Đặt \(t=x^2+5x+5\)thay vào biểu thức trên được \(\left(t-1\right)\left(t+1\right)-24=t^2-25=\left(t-5\right)\left(t+5\right)=\left(x^2+5x\right)\left(x^2+5x+10\right)=x\left(x+5\right)\left(x^2+5x+10\right)\)

Vậy kết quả phân tích thành nhân tử là : \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24=x\left(x+5\right)\left(x^2+5x+10\right)\)

4) 

a) \(\left(a+b+c\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=1\Leftrightarrow1+2\left(ab+bc+ac\right)=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow x=ak;y=bk;z=ck\Rightarrow xy+yz+zx=k^2ab+k^2bc+k^2ac=k^2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

Vậy xy + yz + zx = 0 (đpcm)

b) Theo bài ra ta có :  \(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\left(1\right)\\a^2+b^2+c^2=1\left(2\right)\\a^3+b^3+c^3=1\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và  (3) suy ra được :  \(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)^3=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

Do đó : \(a+b=0\)hoặc \(b+c=0\)hoặc \(c+a=0\)

Nếu \(a+b=0\Rightarrow c=1\Rightarrow a^2+b^2=0\)

Đến đây ta có hệ : \(\hept{\begin{cases}a+b=0\\a^2+b^2=0\\a^3+b^3=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=0}\)

Làm tương tự với \(b+c=0\)và \(c+a=0\)

Kết luận tập nghiệm : \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right);\left(0;1;0\right);\left(1;0;0\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Linh Nam]

Lời giải : Ta có x + y - 3 = xy(1 - 2xy) 
<=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2y2 
<=> xy + 3 = (x2 + y2)2 (1). 
Do (x2 - y2)2 ≥ 0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với mọi x, y (2). 
Từ (1) và (2) ta có : 
xy + 3 ≥ 4(xy)2 <=> 4t2 - t - 3 ≤ 0 (với t = xy) 
<=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0 
Vậy : t = xy đạt GTLN bằng 1