Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\Rightarrow\frac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}=\frac{b\left(cx-az\right)}{b^2}=\frac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcz-abz}{b^2}=\frac{acy-bcz}{c^2}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
\(\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}=\frac{abz-acy+bcx-abz+acy-bcz}{a^2+b^2+c^2}=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0\)
=> abz - acy = 0 => abz = acy => bz = cy (1)
bcx - abz = 0 => bcx = abz => cx = az (2)
acy - bcx = 0 => acy = bcx => ay = bx
Chuyển đổi vế 1 và 2 ta có :
\(bz=cy\Rightarrow\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\left(a\right)\)
\(cx=az\Rightarrow\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\left(b\right)\)
Từ a và b
=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\) (ĐPCM)
\(\frac{cy-bz}{x}=\frac{az-cx}{y}=\frac{bx-ay}{z}\)
=> \(\frac{cyx-bzx}{x^2}=\frac{azy-cxy}{y^2}=\frac{bxz-ayz}{z^2}=\frac{cyx-bzx+azy-cxy+bzx-ayz}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\frac{0}{x^2+y^2+z^2}=0\)
Khi đó \(\hept{\begin{cases}cyx-bzx=0\\azy-cxy=0\\bxz-ayz=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}cy=bz\\az=cx\\bx=ay\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\\\frac{z}{x}=\frac{b}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Lời giải:
Từ \(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{xz}{az+cx}\Leftrightarrow \frac{1}{\frac{a}{x}+\frac{b}{y}}=\frac{1}{\frac{b}{y}+\frac{c}{z}}=\frac{1}{\frac{a}{x}+\frac{c}{z}}\)
Đặt \(\left (\frac{a}{x},\frac{b}{y},\frac{c}{z}\right)=(m,n,p)\Rightarrow \frac{1}{m+n}=\frac{1}{n+p}=\frac{1}{m+p}\)
Do đó \(m=n=p\). Thay \(n,p\) bằng \(m\)
\(\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=m\Rightarrow a=mx,b=my,c=mz\)
\(\frac{1}{m+n}=\frac{1}{2m}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{m^2(x^2+y^2+z^2)}=\frac{1}{m^2}\)\(\Rightarrow m=2\)
Vậy \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=m+n+p=3m=3.2=6\)
\(\Rightarrow\frac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}=\frac{b\left(cx-az\right)}{b^2}=\frac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}\)
\(\text{Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:}\)
\(\frac{abx-acy}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{abx-acy+bcx-abz+acy-bcx}{a^2+b^2+c^2}=0\)
\(\Rightarrow bz-cy=0\)\(\text{và}\)\(cx-az=0\)
\(bz-cy=0\Rightarrow bz=cy\Rightarrow\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
\(cx-az=0\Rightarrow cx=az\Rightarrow\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\)
\(\text{Vậy}\)\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
\(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{x\left(bz-cy\right)}{ax}=\frac{y\left(cx-az\right)}{by}=\frac{z\left(ay-bx\right)}{cz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{bxz-cxy}{ax}=\frac{cxy-ayz}{by}=\frac{ayz-bxz}{cz}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{bxz-cxy}{ax}=\frac{cxy-ayz}{by}=\frac{ayz-bxz}{cz}=\frac{bxz-cxy+cxy-ayz+ayz-bxz}{ax+by+cz}=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bz-cy=0\\cx-az=0\\ay-bx=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}bz=cy\\cx=az\\ay=bx\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\\\frac{a}{c}=\frac{b}{y}\end{cases}}\)
=> Điều cần chứng minh
Ta có: \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}=\frac{b\left(cx-az\right)}{b^2}=\frac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\) (Nhân lần lượt mỗi vé với a,b,c)
\(\Leftrightarrow\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-baz}{b^2}=\frac{cay-cbx}{c^2}\)
\(=\frac{abz-acy+bcx-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}=0\) (Áp dung dãy tỉ số bằng nhau)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bz-cy=0\\cx-az=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\end{cases}\Rightarrow}}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\) (đpcm)
k cho mình!
1/
Từ \(a-b=2\left(a+b\right)\Rightarrow a-b=2a+2b\Rightarrow a-2a=2b+b\Rightarrow-a=3b\Rightarrow a=-3b\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{-3b}{b}=-3\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=-3\\2\left(a+b\right)=-3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=-3\\a+b=-\frac{3}{2}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow a-b+a+b=-3-\frac{3}{2}\Rightarrow2a=\frac{-9}{2}\Rightarrow a=\frac{-9}{4}\)
Có: \(a-b=-3\Rightarrow b=a+3\Rightarrow b=\frac{-9}{4}+3=\frac{3}{4}\)
Vậy a=-9/4,b=3/4
2/ Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow x=ak,y=bk,z=ck\)
Ta có: \(\frac{bx-ay}{a}=\frac{bak-abk}{a}=0\left(1\right)\)
\(\frac{cx-az}{y}=\frac{cak-ack}{y}=0\left(2\right)\)
\(\frac{ay-bx}{c}=\frac{abk-bak}{c}=0\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) => đpcm