Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=\frac{1}{2}.10=5\)
Vậy MIN P = 5 khi x = y = \(\frac{\sqrt{10}}{2}\)
\(P=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}\)
\(\ge x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+2+\frac{255}{256.\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\right]^2}\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{256x^2y^2}}+2+\frac{255}{256.\frac{1}{16}}\)
\(=\frac{1}{8}+2+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đức Hùng hình như áp dụng sai ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi
Ta chứng minh \(P\ge2\Leftrightarrow x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}\ge2\sqrt{xy}\)
Thay \(2=x^2+y^2\) thì bđt trở thành \(x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}\ge\left(x^2+y^2\right)\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)+y^2\sqrt{y}\left(1-\sqrt{x}\right)\ge0\)
+TH1: \(\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\) thì VT = 0, bđt thỏa mãn
+TH2: \(x>1\)
bđt \(\Leftrightarrow x^2\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)\ge y^2\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-1\right)\text{ (*)}\)
Từ \(x>1\), ta có: \(y=\sqrt{2-x^2}< 1\)
\(\Rightarrow x>y\Rightarrow x^2\sqrt{x}>y^2\sqrt{y}>0\text{ (1)}\)
Cần chứng minh \(1-\sqrt{y}\ge\sqrt{x}-1>0\text{ (2)}\) là bđt sẽ được chứng minh
(2) \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}< 2\)
Thật vậy, ta có: \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\le2\)
Từ (1) và (2) suy ra (*) đúng.
+TH3: chứng minh tương tự TH2, chỉ đảo lại y và x.
Vậy \(P\ge2\). Dấu bằng đạt được tại x = y = 1.
Ta có :(a+b-c)2 \(\ge\) 0
<=>a2+b2+c2 \(\ge\) 2(bc-ab+ac)
<=>\(\frac{5}{3}\ge\) 2(bc-ab+ac)
<=>bc+ac-ab \(\le\frac{5}{6}< 1\)
<=>\(\frac{bc+ac-ab}{abc}< \frac{1}{abc}\) (vì a,b,c>0 nên chia cả 2 vế cho abc)
<=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< 1\) (đpcm)