Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AE và BC.
Ta có : \(EB^2=\left(BK-EK\right)^2;EC^2=\left(KC+EK\right)^2\)
\(\Rightarrow EB^2+EC^2=2\left(BK^2+EK^2\right)=2\left(BO^2-OK^2+OE^2-OK^2\right)\)
\(=2\left(R^2+r^2\right)-4OK^2\)
\(AE^2=4AI^2=4\left(r^2-OI^2\right)\)
\(\Rightarrow EB^2+EC^2+EA^2=2R^2+6r^2-4\left(OI^2+OK^2\right)\)
Mà OIEK là hình chữ nhật nên \(OI^2+OK^2=OE^2=r^2\)
\(\Rightarrow EB^2+EC^2+EA^2=2R^2+2r^2\) không đổi.
b) Giả sử EO giao với AK tại J.
Vì IOEK là hình chữ nhật nên OK song song và bằng EI. Vậy nên OK song song và bằng một nửa AE.
Do đó \(\frac{JE}{JO}=\frac{AJ}{JK}=\frac{AE}{OK}=2\)
Vì OE cố định nên J cố định; Vì AK là trung tuyến của tam giác ABC nên J là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra J thuộc MC.
Vậy MC đi qua J cố định.
c) Vì AK = 3/2AJ nên H trùng K.
Do đó OH vuông góc BC. Suy ra H thuộc đường tròn đường kính OE.
a) góc AOC =1/2 góc COB
mà CIB = 1/2 góc COB ( góc nội tiếp )
=> góc AOC=góc BIC
O B A M D N I
a) Ta thấy ngay \(\Delta MAO=\Delta DBO\) (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)
\(\Rightarrow MO=DO\)
Xét tam giác MNP có NO là đường cao đồng thời trung tuyến nên tam giác MNP cân tại N.
b) Do tam giác MNP cân tại N nên NO cũng đồng thời là phân giác.
Vậy thì \(\Delta ION=\Delta BON\) (Cạnh huyền góc nhọn)
\(\Rightarrow OI=OB=R\)
Lại có \(OI\perp MN\Rightarrow\) MN vuông góc OI tại I hay MN là tiếp tuyến của (O)
c) Ta thấy ngay \(AM.BN=MI.IN\)
Xét tam giác vuông MON có OI là đường cao nên \(MI.IN=OI^2=R^2\)
\(\Rightarrow AM.BN=R^2\)
d) Do AM và BN cùng vuông góc với AB nên ANNB là hình thang vuông
\(S_{AMNB}=\frac{\left(AM+NB\right).AB}{2}=\frac{\left(MI+IN\right).AB}{2}=\frac{MN.AB}{2}\)
Do AB không đổi nên diện tích hình thang vuông AMNB nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất.
MN là đường xiên nên nó nhỏ nhất khi là đường vuông góc, nói cách khác là tứ giác AMNB là hình chữ nhật.
Khi đó AM = OI = R.
Vậy khi M cách O một khoảng bằng R thì diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.